工程數學 · 手寫講義精讀23 頁全解 · 每個例題都有思路

這份網站是把你那份 23 頁手寫工程數學講義（用手機掃成 PDF 的那份）一頁一頁拆開，從「這到底在幹嘛」講到「每一題的每一步」，一個例題都不跳過。

工程數學 · 手寫講義精讀

複數 → 向量 → 向量微積分（梯度／散度／旋度／三大定理）→ 線性代數（矩陣／行列式／反矩陣）。全部 23 頁、30 多個例題，每題都附「思路」。

先講清楚 · 這份講義的骨架

整份 23 頁其實只做三件事：

  1. 把數字換一種寫法（複數的極式、直角座標換球座標）——換完之後乘法、開根號、積分都變簡單。
  2. 把「變化」變成運算子（梯度 $\nabla f$、散度 $\nabla\!\cdot\!\vec v$、旋度 $\nabla\!\times\!\vec v$）——然後用三大定理（格林、高斯、斯托克斯）把「很難算的積分」換成「很好算的積分」。
  3. 把很多條方程式寫成一個矩陣（$A\vec x=\vec B$）——用列運算、行列式、反矩陣把它解掉。

怎麼用這個網站（建議照這個順序）

  1. 先讀該章的核心觀念（綠框）：那是我用白話重寫的版本，比原稿好入口。
  2. 再看每個例題卡：題目 → 思路 → 計算 → 答案 → 提醒。思路那一欄最重要，它回答的是「為什麼第一步要這樣做」。
  3. 把例題自己動筆算一次，再對答案。看懂 ≠ 會算。
  4. 卡住了就點開下方的原稿對照縮圖（可點擊放大），看老師原本怎麼寫。
  5. 每章最後有馬上練，答案折在裡面，先寫完再打開。
  6. 想練英文：各章標題旁與 English 那一列的術語都能點開看中文意思，術語中英對照可以打字搜尋。

章節地圖（17 章 + 附錄）

01–03 複數複數的四則運算、共軛、極式、歐拉公式、棣美弗定理、開 n 次方根（圓上等分那張圖）。
04 複變函數$w=f(z)$ 為什麼最後會拆成 $u(x,y)+iv(x,y)$ 兩條實函數。
05 向量加減、內積（夾角）、外積（面積與方向）、向量函數與弧長。
06 梯度梯度是「最陡上升方向」，方向導數是「往指定方向的斜率」，以及梯度為什麼垂直等值面。
07 散度 · 旋度$\nabla\!\cdot\!$、$\nabla\!\times\!$ 的定義與 3×3 行列式算法，$\nabla^2$（Laplacian）。
08 線積分沿著曲線積分、參數化、保守場與位勢函數（積分只跟頭尾有關）。
09 格林定理平面上的「繞一圈」＝「裡面的面積分」，$9\pi$ 那題的兩種算法。
10 座標系 · 表面積分柱座標、球座標轉換、球面參數式、$\iint\nabla^2 f\,dA=\oint\frac{\partial f}{\partial n}ds$。
11 高斯散度定理體積分 ↔ 封閉曲面通量，圓柱那題。
12 斯托克斯定理曲面上的旋度 ↔ 邊界曲線的環流，答案是 $-\pi$ 那題。
13 矩陣 · 線性方程組矩陣運算、$A\vec x=\vec B$、高斯消去法，含電路那題。
14–17 秩 · 行列式 · 克拉瑪 · 反矩陣Rank、餘因子展開、用行列式解方程組、$[A|I]\to[I|A^{-1}]$。
EN 術語中英對照所有英文術語 ↔ 中文 ↔ 一句話解釋，可即時搜尋；章節標題上的英文也是按鈕，點一下就看中文。
讀之前先知道三件事
  • 原稿是上課邊聽邊寫的筆記，難免有小筆誤（例如 p.18 電路那條方程式、p.10 保守場那題的位勢差那句）。我在對應例題的「提醒」都會標出來並給正確版本，你照正確的算就好。
  • 數學式如果太寬，手機上可以左右滑動（公式區塊本身可橫向滾動）。
  • 右上角有「夜間」可以切深色模式，晚自習比較不刺眼。

01複數與四則運算原稿 p.1

這一章只做一件事：把「$\sqrt{-1}$ 這種不存在的東西」變成一套能像普通數字一樣加減乘除的新數系。

English
用一句話說

複數就是「二維的數字」：橫軸放實數，縱軸放「轉 90° 的方向」。$i$ 這個符號的意思就是「把箭頭轉 90°」，所以 $i^2=-1$ 其實是說「轉 180° 就變成反方向」。

核心觀念

在實數裡 $x^2+1=0$ 無解，因為任何實數平方都 $\ge 0$。於是我們直接規定有一個數 $i$ 滿足

$$i=\sqrt{-1}\quad\Longleftrightarrow\quad i^2=-1$$

然後把所有 $x+iy$（$x,y$ 是實數）收集起來，就得到複數系。

  • $z=x+iy$：$x$ 叫 實部 $\operatorname{Re}(z)$，$y$ 叫 虛部 $\operatorname{Im}(z)$。注意：$\operatorname{Im}(z)$ 是實數 $y$，不含 $i$。
  • 若 $x=0$（$z=iy$），叫做純虛數。
  • 畫在平面上：$x$ 軸擺實部、$y$ 軸擺虛部，這個平面叫複數平面。$z$ 就是一個點（也是一個從原點出發的箭頭）。

三個運算規則（全部來自 $i^2=-1$）

運算做法記憶點
加／減$(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$實部管實部、虛部管虛部
乘像多項式展開，遇到 $i^2$ 就換成 $-1$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
除分子分母同乘分母的共軛，把分母變實數$\dfrac{1}{a+bi}=\dfrac{a-bi}{a^2+b^2}$
例題 1複數的基本操作
設 $z_1=8+3i$、$z_2=9-2i$，求 $\operatorname{Re}(z_1)$、$\operatorname{Im}(z_1)$、$z_1+z_2$、$z_1z_2$。
思路
  1. 看到「求 Re、Im」不要算，直接讀係數：實部就是 $i$ 前面那個數、虛部是 $i$ 的係數。
  2. 加法就是兩個 $i$ 前面、兩個 $i$ 後面各自相加。
  3. 乘法不要背公式，照展開：每一項乘每一項，最後把 $i^2$ 換 $-1$。這樣才不會記錯公式。
計算
$$\operatorname{Re}(z_1)=8,\qquad \operatorname{Im}(z_1)=3$$ $$z_1+z_2=(8+9)+i(3-2)=17+i$$ $$z_1z_2=(8+3i)(9-2i)=72-16i+27i-6i^2$$ $$\phantom{z_1z_2}=72+11i-6(-1)=78+11i$$
$\operatorname{Re}(z_1)=8$，$\operatorname{Im}(z_1)=3$，$z_1+z_2=17+i$，$z_1z_2=78+11i$
提醒

$-6i^2$ 是 $-6\times(-1)=+6$。這一步是複數乘法唯一的陷阱，每次都要停下來把 $i^2$ 變 $-1$。

例題 2除法：有理化
設 $z_1=8+3i$、$z_2=9-2i$，求 $\dfrac{z_1}{z_2}$。
思路
  1. 國中做 $\dfrac{1}{\sqrt2}$ 時，我們「分子分母同乘 $\sqrt2$」把根號趕到分子——這裡一模一樣，只是把 $\sqrt2$ 換成「分母的共軛」。
  2. 分母是 $9-2i$，它的共軛是 $9+2i$。為什麼乘共軛有效？因為 $(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2$ 是實數，$i$ 被消掉了。
  3. 所以：分子分母同乘 $9+2i$，分母變成 $9^2+2^2=85$（實數），再把分子展開整理。
計算
$$\frac{8+3i}{9-2i}=\frac{(8+3i)(9+2i)}{(9-2i)(9+2i)}=\frac{72-6+16i+27i}{81+4}=\frac{66+43i}{85}=\frac{66}{85}+\frac{43}{85}i$$
$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{66}{85}+\dfrac{43}{85}i$
提醒

分母的共軛是 $9\mathbf{+}2i$（只改中間的號）。很多人會誤乘成 $9-2i$ 或 $-9+2i$，那就白算了。

共軛複數（）

核心觀念

$z=x+iy$ 的共軛，就是把 $y$ 的號反過來：

$$\bar z=x-iy$$

幾何上就是對實軸（$x$ 軸）鏡射。
它最大的用處是「把複數的實部／虛部榨出來」：

$$\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2},\qquad \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2i}$$

（原稿寫成 $\operatorname{Im}(z)=\frac{1}{2i}(z-\bar z)$，同樣的意思。）

例題 3用共軛反推虛部
設 $z_1=4+3i$，用 $\operatorname{Im}(z_1)=\dfrac{1}{2i}(z_1-\bar z_1)$ 驗證 $\operatorname{Im}(z_1)$。
思路
  1. 先寫共軛：$\bar z_1=4-3i$（實部不動、虛部變號）。
  2. 做 $z_1-\bar z_1$：實部被扣掉（$4-4=0$），只留下虛部——這就是為什麼這個式子能「萃取」虛部。
  3. 剩下 $6i$，再除以 $2i$：$i$ 會互相消掉，得到實數 $3$。
計算
$$z_1-\bar z_1=(4+3i)-(4-3i)=6i$$ $$\operatorname{Im}(z_1)=\frac{6i}{2i}=3$$
$\operatorname{Im}(z_1)=3$（與直接讀係數的答案一致 ✓）

共軛的運算性質（原稿右框、含 H.W.）

「$\,\overline{\ \ }\,$」可以自由進出加減乘除，只要記得除法是「分子共軛除以分母共軛」：

$$\overline{(z_1+z_2)}=\bar z_1+\bar z_2,\qquad \overline{(z_1-z_2)}=\bar z_1-\bar z_2$$ $$\overline{z_1z_2}=\bar z_1\,\bar z_2,\qquad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\bar z_1}{\bar z_2}$$
小提醒

反過來要小心：$\overline{z_1z_2}$ 可以拆開，但「取絕對值」$|z_1z_2|$ 也能拆成 $|z_1||z_2|$（第 3 章會用到）；而 $\operatorname{Re}(z_1z_2)\ne \operatorname{Re}(z_1)\operatorname{Re}(z_2)$、$\operatorname{Im}$ 也一樣不能拆。

原稿最上方的三個運算律（複數也適用）：交換律（commutative）：$z_1+z_2=z_2+z_1$；結合律（associative）：$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$；分配律（distributive）：$z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$。

原稿第 1 頁：複數、四則運算、共軛
原稿 p.1 — 複數定義、四則運算、除法有理化、共軛複數（點圖放大）

馬上練

1. 設 $z=5-2i$，求 $\operatorname{Re}(z)$、$\operatorname{Im}(z)$、$\bar z$、$z\bar z$。

$\operatorname{Re}(z)=5$、$\operatorname{Im}(z)=-2$（是 $-2$，不是 $2$）、$\bar z=5+2i$、$z\bar z=5^2+(-2)^2=29$。

2. 求 $\dfrac{1+i}{1-i}$。

分子分母同乘 $1+i$：$\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+2i+i^2}{1+1}=\dfrac{2i}{2}=i$。

3. 判斷：$\operatorname{Im}(2+3i)=3i$ 對嗎？

錯。$\operatorname{Im}$ 只取 $i$ 前面的實數係數，所以 $\operatorname{Im}(2+3i)=3$。

02極式與歐拉公式原稿 p.2

同樣一個複數，除了用「往右走 $x$、往上走 $y$」描述，也可以用「朝 $\theta$ 方向、走 $r$ 那麼遠」描述。後者讓乘法變成「長度相乘、角度相加」。

English
用一句話說

同一支箭有兩種講法：往右 3、往上 4（座標）；或「朝 53° 方向走 5 步」（極式）。極式最大的好處是乘法變成「長度相乘、角度相加」——工程上幾乎都用這個講法。

核心觀念

把 $z=x+iy$ 看成複數平面上的一點，連到原點。設箭頭長度 $r$、與正實軸夾角 $\theta$：

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta$$ $$z=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

這叫 $z$ 的極式（polar form）。三個關鍵量：

  • 模（絕對值）：$|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot\bar z}$。
  • 輻角 $\operatorname{Arg}z$：所有滿足上式的 $\theta$（無限多個，差 $2n\pi$）。
  • 主值 $\arg z$：只取落在 $-\pi<\theta\le\pi$（原稿用的範圍）的那一個，寫成 $\operatorname{Arg}z$ 表示集合、$\arg z$ 表示單一代表值。
歐拉公式 · 原稿右上框 $$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\ \Longrightarrow\ z=re^{i\theta}$$

這是整份講義最重要的一行。它把「三角函數」跟「指數」接起來，所以極式的乘法才會有「角度相加」的漂亮性質。

怎麼算反應最快的 $\theta$

  1. 先算 $r=\sqrt{x^2+y^2}$（一定是正數）。
  2. 用 $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ 找出「參考角」，再看點在哪個象限決定 $\theta$ 要加多少。
  3. 四個軸上的點直接背，不要算：$1=1e^{i0}$、$i=1e^{i\pi/2}$、$-1=1e^{i\pi}$、$-i=1e^{i3\pi/2}$（原稿畫的那個十字就是這個）。
提醒

$z\ne0$ 時，$\operatorname{Arg}z=\arg z+2n\pi$，$n$ 為整數。原稿寫的 $\arg z=\frac{\pi}{4}+2n\pi$ 就是這個意思——只要題目問「arg」而非「Arg」，答案就要把 $+2n\pi$ 寫出來，因為「同一方向的點」有無限多個角度。

例題 4把 $1+i$ 換成極式
設 $z=1+i$，求 $r=|z|$、$\operatorname{Arg}z$（主值）、$\arg z$，並寫出極式與歐拉形式。
思路
  1. $x=1,\ y=1$，都在正的方向，所以這個點在第一象限（原稿把它畫成半徑 $\sqrt2$、$45^\circ$ 的箭頭）。
  2. 長度：$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$。
  3. 角度：$\tan\theta=\frac11=1$，且在第一象限，所以主值 $\theta=\frac{\pi}{4}$。若問 $\arg$，就寫 $\frac{\pi}{4}+2n\pi$。
  4. 最後把 $r$ 提出來：$\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i\right)=\sqrt2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$。
$$|z|=\sqrt2,\qquad \arg z=\frac{\pi}{4},\qquad \operatorname{Arg}z=\frac{\pi}{4}+2n\pi$$ $$z=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$$
$r=\sqrt2$，主值輻角 $\dfrac{\pi}{4}$，$z=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$
提醒

「提出 $r$」那一步最容易漏：$1+i$ 不是 $\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4$（那是 $|z|=1$），必須乘上 $\sqrt2$。檢查方法：把答案還原回直角座標，看是不是 $1+i$。

原稿第 2 頁：極式、歐拉公式、Arg/arg
原稿 p.2 — 極式（以極座標 $r,\theta$ 表示）、歐拉公式、主值與一般角

馬上練

1. 寫出 $z=-1+\sqrt3\,i$ 的 $|z|$ 與主值輻角。

$r=\sqrt{1+3}=2$；點在第二象限，$\tan$ 參考角 $=\frac{\pi}{3}$，故 $\arg z=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$。所以 $z=2e^{i2\pi/3}$。

2. $z=i$ 的極式？

$r=1$、角度 $\frac\pi2$，所以 $i=e^{i\pi/2}$。（原稿十字圖上那四點就是這個。）

03極式的乘除 · · 方根原稿 p.3

換成極式之後，「乘法變角度相加」，於是「$n$ 次方變角度乘 $n$」，而「開 $n$ 次方」就是在圓上把角度等分 $n$ 份——這是這一章的主線。

English
用一句話說

次方是「把角度放大 $n$ 倍」，開 $n$ 次方就是「把角度縮小 $n$ 倍」。但繞圈也要算進去，所以才會生出 $n$ 個答案，而且它們在圓上等分——這就是原稿那張圓圖。

核心觀念（三個定理一次收） $$z_1z_2=r_1r_2\big[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big]=r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$ $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\big[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\big]$$

棣美弗定理（De Moivre）：令 $z_1=z_2=\dots=z$ 就得到

$$z^n=r^n\big[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big]=r^n e^{in\theta}$$

而模也跟著相乘：$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$。

為什麼？ 原稿把那串乘法展開給你看：$r_1r_2$ 提出來之後，剩下的是 $\cos\theta_1\cos\theta_2$ 那一坨。用高中的和角公式就能收成 $\cos(\theta_1+\theta_2)$、$\sin(\theta_1+\theta_2)$。所以「極式乘法＝長度相乘、角度相加」不是巧合，是和角公式。

方根（Root）：$n$ 個答案，不是一個

核心觀念

設 $z^{n}=w$。寫 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$、$w=R(\cos\phi+i\sin\phi)$。由棣美弗：

$$r^n=R\ \Rightarrow\ r=\sqrt[n]{R},\qquad n\theta=\phi+2k\pi\ \Rightarrow\ \theta=\frac{\phi}{n}+\frac{2k\pi}{n}$$ $$\boxed{\ \sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n}\right],\qquad k=0,1,\dots,n-1\ }$$
  • 因為角度是「差 $2\pi$ 都一樣」，所以只有 $n$ 個相異解（$k$ 到 $n-1$ 就循環了）。
  • 幾何意義（原稿那張圓）：$n$ 個解全部落在半徑 $\sqrt[n]{R}$ 的圓上，彼此角度差 $2\pi/n$，把它們連起來就是正 $n$ 邊形。
  • 原稿另外寫「令一個 $w$ 得一個 $z$；令一個 $z$ 得 $n$ 個 $w$」——就是說 $z^n$ 是單向的、開根號是多值的。
例題 5$1$ 的三次方根 $\sqrt[3]{1}$（原稿的圓圖）
求 $\sqrt[3]{1}$ 的全部解，並說明它們在複數平面上的位置。
思路
  1. 把 $1$ 寫成極式：$1=1\cdot(\cos 0+i\sin 0)$，所以 $R=1,\phi=0$。
  2. 代公式：$r=\sqrt[3]{1}=1$，角度 $=\dfrac{0+2k\pi}{3}$，$k=0,1,2$。
  3. $k=0$：角度 $0$ → $1$；$k=1$：角度 $\frac{2\pi}{3}=120^\circ$；$k=2$：角度 $\frac{4\pi}{3}=240^\circ$。
  4. 這三個點在單位圓上剛好把圓三等分，連起來是正三角形。
$$\sqrt[3]{1}=1,\qquad -\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\qquad -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$
三個解都在半徑 $1$ 的圓上，角度 $0^\circ,120^\circ,240^\circ$（正三角形頂點）
提醒

「$1$ 的立方根只有 $1$」是國中答案；在複數裡有 3 個。同理 $\sqrt{4}$ 在複數系有 2 個解（$\pm2$）、$\sqrt[4]{1}$ 有 4 個解。

例題 6$\sqrt{i}$ 與 $\sqrt[5]{1}$
(a) 求 $\sqrt{i}$ 的所有值。(b) 寫出 $\sqrt[5]{1}$ 的一般式。
思路
  1. (a) 先把 $i$ 寫成極式：$i=1\cdot e^{i\pi/2}$（長度 1、角度 $90^\circ$）。
  2. 開平方＝長度開平方、角度除以 2 但要考慮繞圈：$\theta=\dfrac{\pi/2+2k\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$，$k=0,1$。
    （也就是原稿寫的 $i^{1/2}$：$k=0$ 得 $45^\circ$、$k=1$ 得 $225^\circ$——兩個方向剛好相反。）
  3. 所以答案是 $\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i$，以及它的相反數 $-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i$。
  4. (b) 一樣的代公式，只是 $n=5$、$\phi=0$：角度 $\frac{2k\pi}{5}$，$k=0,1,2,3,4$（五個點把圓五等分）。
$$\sqrt{i}=\pm\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\right)=\pm e^{i\pi/4}\qquad(\text{即 }45^\circ,225^\circ)$$ $$\sqrt[5]{1}=\cos\frac{2k\pi}{5}+i\sin\frac{2k\pi}{5},\qquad k=0,1,2,3,4$$
(a) $\pm\big(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\big)$；(b) 五個解為 $e^{i2k\pi/5}$，$k=0\sim4$
提醒

開 $n$ 次方的角度要用 $\dfrac{\theta+2k\pi}{n}$，不是 $\dfrac{\theta}{n}+2k\pi$。前者才會生出 $n$ 個落在正確位置上的解。

原稿第 3 頁：極式乘除、棣美弗、方根
原稿 p.3 — 極式乘法推導、棣美弗定理、方根公式與圓上等分圖

馬上練

1. 用極式算 $(1+i)^8$。

$1+i=\sqrt2 e^{i\pi/4}$ ⇒ $(1+i)^8=(\sqrt2)^8e^{i2\pi}=16\cdot1=16$。（直接硬乘會很痛苦。）

2. $\sqrt[4]{1}$ 的四個解是什麼？

角度 $0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2}$ ⇒ $1,\ i,\ -1,\ -i$（單位圓上四個軸點，正四邊形）。

3. 判斷：$|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ 嗎？

一般不對（會變成三角形兩邊之和 $=$ 第三邊）。只有同方向時等號成立；但 $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ 永遠成立——差別在乘法和加法。

04複變函數 $w=f(z)$原稿 p.4 上半

把上一章的複數當成「輸入」，餵進一個規則，吐出來的也是複數。這一節只是把這件事寫清楚，並示範怎麼把它拆成「兩條實函數」。

English
用一句話說

複變函數把兩張平面疊在一起：輸入平面的每一點 $z$，被規則搬到輸出平面的 $w$。拆成 $u$、$v$ 只是說「橫向座標與縱向座標各自怎麼被搬」。

核心觀念

複變函數 $w=f(z)$：定義域在複數上，每個 $z$ 對到一個 $w$。其中

  • $z$ 叫 complex variable（複變數）；
  • $w$ 是 $z$ 的函數值，寫成 $w=u+iv$；
  • 因為 $z=x+iy$，所以 $u$、$v$ 都只跟 $x,y$ 有關：
$$w=u+iv,\qquad u=u(x,y),\qquad v=v(x,y)$$

白話版：一個複變函數 = 兩個實變函數（實部、虛部）綁在一起。這個「拆成 $u,v$」的動作，後面判別可微分（柯西—黎曼方程）全靠它。

例題 7把 $w=z^2+3z$ 拆成 $u,v$ 並求值
設 $w=f(z)=z^2+3z$，求 $u$ 與 $v$，並求 $z=1+3i$ 時的 $f(z)$。
思路

這題有兩條路，原稿兩條都走了，考試時挑快的用：

  1. 路 A（先拆 $u,v$）：把 $z=x+iy$ 代進去展開，實部的部分收集成 $u$、虛部的部分收集成 $v$。題目若問「$u,v$ 分別是什麼」就得走這條。
  2. 路 B（直接代值）：只要求 $f(1+3i)$ 的話，直接把 $z=1+3i$ 丟進去算複數乘法更快。
  3. 展開時記得：$(x+iy)^2=x^2+2xy\,i+i^2y^2=x^2-y^2+2xy\,i$，那個 $-y^2$ 是 $i^2$ 換來的，最容易漏。
計算
$$w=(x+iy)^2+3(x+iy)=\big(x^2-y^2+2xy\,i\big)+(3x+3y\,i)$$ $$u=x^2-y^2+3x,\qquad v=2xy+3y$$

路 B：

$$f(1+3i)=(1+3i)^2+3(1+3i)=(-8+6i)+(3+9i)=-5+15i$$
$u=x^2-y^2+3x$，$v=2xy+3y$，$f(1+3i)=-5+15i$
提醒（原稿筆誤）

原稿在這個例題把 $(1+3i)^2$ 的實部算成 $1-9+9$，得到 $1+15i$。正確是 $1-9+3=-5$。驗證：把 $(x,y)=(1,3)$ 代回上面剛求出的 $u=x^2-y^2+3x$ ⇒ $1-9+3=-5$ ✓、$v=2(1)(3)+3(3)=15$ ✓。兩條路對得起來，所以答案 $-5+15i$ 才對。

原稿第 4 頁：複變函數與向量
原稿 p.4 — 上半是複變函數，下半開始是向量

05向量的運算原稿 p.4 下半 – p.6

向量＝有方向、有大小的一支箭。這一章的三個主角：加減法、內積（問「夾角／投影」）、外積（問「垂直方向／面積」）。

English
用一句話說

內積問「兩支箭有多像」：同向是正、垂直是 0、反向是負。外積問「兩支箭張出多大的面積、往哪邊垂直」——右手指頭一比就知道方向。

核心觀念
  • 向量寫成 $\vec a=[a_1,a_2,a_3]=a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k$；$\hat i,\hat j,\hat k$ 是三個座標軸的單位向量（長度 1、互相垂直）。
  • 「大小為 1、方向為 $\vec p$ 方向」的向量寫成 $\hat p=\dfrac{1}{|\vec p|}\vec p$（後面求法向量、方向導數都靠它）。
  • 零向量的長度是 0，沒有方向。
  • 兩向量「相同」＝ 每個分量都相同（$\vec a=\vec b\iff a_1=b_1,\ a_2=b_2,\ a_3=b_3$）。
  • 向量加法服從交換律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$。
例題 8由兩點求向量與長度
已知 $P(4,0,2)$、$Q(6,-1,2)$，求 $\overrightarrow{PQ}$ 與 $|\overrightarrow{PQ}|$。
思路
  1. 「從 $P$ 指向 $Q$ 的向量」＝ 終點減起點：$\overrightarrow{PQ}=Q-P$。順序反了答案就整條變號（變 $\overrightarrow{QP}$）。
  2. 減法是逐分量減：$(6-4,\,-1-0,\,2-2)$。
  3. 長度＝三軸平方和再開根號（三維的畢氏定理）。
$$\overrightarrow{PQ}=(6-4,\ -1-0,\ 2-2)=(2,-1,0)$$ $$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt5$$
$\overrightarrow{PQ}=(2,-1,0)$，長度 $\sqrt5$
例題 9 · 10向量加法（分量式與 $\hat i\hat j\hat k$ 式）
(a) $\vec a=[4,0,1]$、$\vec b=[2,5,\tfrac13]$，求 $\vec a+\vec b$。
(b) $\vec a=4\hat i+\hat k$（沒有 $\hat j$ 項）、$\vec b=2\hat i-5\hat j+\tfrac13\hat k$，求 $\vec a+\vec b$。
思路
  1. 兩種寫法其實是同一件事：$[a_1,a_2,a_3]$ 只是把 $\hat i\hat j\hat k$ 的係數排成一列。所以對應位置相加就好。
  2. (a) 第三分量 $1+\frac13=\frac43$。
  3. (b) $\vec a$ 沒有寫 $\hat j$，代表 $\hat j$ 的係數是 0——第二分量 $0+(-5)=-5$，第三分量 $1+\frac13=\frac43$。（漏掉「沒寫＝0」這一步，就會算成 $-4$。）
$$\text{(a)}\quad\vec a+\vec b=[4+2,\ 0+5,\ 1+\tfrac13]=[6,5,\tfrac43]$$ $$\text{(b)}\quad\vec a+\vec b=(4+2)\hat i+(0-5)\hat j+(1+\tfrac13)\hat k=6\hat i-5\hat j+\tfrac43\hat k=[6,-5,\tfrac43]$$
(a) $[6,5,\frac43]$　(b) $[6,-5,\frac43]$

內積（）：拿來問「夾角」與「投影」

核心觀念 $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$
  • 結果是一個數（純量），不是向量。
  • 反推夾角：$\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$。
  • $\vec a\cdot\vec b=0\iff$ 兩向量垂直（正交）——這是內積最常考的一句話。
  • 幾何意義：$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\times\big(\vec b$ 在 $\vec a$ 方向上的投影長$\big)$。
例題 11算內積、模、夾角
設 $\vec a=[1,2,0]$、$\vec b=[3,-2,1]$，求 $\vec a\cdot\vec b$、$|\vec a|$、$|\vec b|$，並求夾角 $\theta$。
思路
  1. 內積：對應分量相乘再相加。
  2. 模：各自平方和開根號。
  3. 夾角：套 $\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$，最後用計算機取 $\cos^{-1}$。若題目只問「是否垂直」，只要看內積是不是 0。
$$\vec a\cdot\vec b=(1)(3)+(2)(-2)+(0)(1)=3-4+0=-1$$ $$|\vec a|=\sqrt{1+4+0}=\sqrt5,\qquad |\vec b|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}$$ $$\cos\theta=\frac{-1}{\sqrt5\sqrt{14}}=\frac{-1}{\sqrt{70}}\approx-0.1195\ \Longrightarrow\ \theta\approx96.9^\circ$$
$\vec a\cdot\vec b=-1$，$|\vec a|=\sqrt5$，$|\vec b|=\sqrt{14}$，$\theta\approx96.9^\circ$（大於 $90^\circ$，因為內積是負的）
提醒

內積算出來是負的時不要慌：負的代表夾角鈍角（$>90^\circ$）。內積的正負就是夾角的「感覺」——正：銳角；0：垂直；負：鈍角。原稿右下角「內積為 $0$ ⇒ 正交（垂直）」就是這個。

外積（）：拿來問「垂直方向」與「面積」

核心觀念

兩個不平行向量可以張出一個平面，外積給出垂直那個平面的向量：

$$\vec v=\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix} =\hat i\begin{vmatrix}a_2&a_3\\ b_2&b_3\end{vmatrix}-\hat j\begin{vmatrix}a_1&a_3\\ b_1&b_3\end{vmatrix}+\hat k\begin{vmatrix}a_1&a_2\\ b_1&b_2\end{vmatrix}$$ $$|\vec v|=|\vec a||\vec b|\sin\theta\quad(\text{＝兩向量張出的平行四邊形面積})$$
  • 只有三維才有外積。
  • $\vec a\times\vec b$ 垂直於 $\vec a$ 也垂直於 $\vec b$（「兩者皆垂」的英文就是垂直的判準）。
  • 方向性：$\vec a\times\vec b=-(\vec b\times\vec a)$，方向用右手定則（食指 $\vec a$、中指 $\vec b$、拇指就是 $\vec a\times\vec b$）。特別注意 $\hat i\times\hat j=\hat k$，順序反了變 $-\hat k$。
  • $\vec a\times\vec a=0$（自己跟自己不行）。
例題 12用行列式算外積
設 $\vec a=[1,1,0]$、$\vec b=[3,0,0]$，求 $\vec v=\vec a\times\vec b$。
思路
  1. 照定義排成 3×3 行列式：第一列是 $\hat i\hat j\hat k$，第二列放 $\vec a$、第三列放 $\vec b$。
  2. 用餘因子展開：$\hat i\times(1\cdot0-0\cdot0)-\hat j\times(1\cdot0-0\cdot3)+\hat k\times(1\cdot0-1\cdot3)$。注意中間 $\hat j$ 前面是減號。
  3. 算完每一項都是 $0$ 或 $0$，只有 $\hat k$ 那項是 $-3$。
  4. 檢查：$\vec v=(0,0,-3)$ 是否同時垂直 $\vec a$ 與 $\vec b$？$\vec v\cdot\vec a=0$ ✓、$\vec v\cdot\vec b=0$ ✓。合格。
$$\vec v=\begin{vmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\\ 1&1&0\\ 3&0&0\end{vmatrix} =\hat i(1\cdot0-0\cdot0)-\hat j(1\cdot0-0\cdot3)+\hat k(1\cdot0-1\cdot3)=0\hat i+0\hat j-3\hat k$$ $$\vec v=[0,0,-3],\qquad |\vec v|=3$$
$\vec a\times\vec b=(0,0,-3)=-3\hat k$，面積 $=3$

向量函數、極限、導數（原稿 p.6）

核心觀念

向量函數就是「每個分量各自是一個（純量）函數」：

$$\vec v=\vec v(p)=[\,v_1(p),\ v_2(p),\ v_3(p)\,]$$

所有操作都可以「逐分量」做：

  • 極限：$\displaystyle\lim_{p\to p_0}\vec v(p)=\vec L\iff\lim_{p\to p_0}|\vec v(p)-\vec L|=0$（長度趨近 0 就是整支向量趨近 0）。
  • 連續：$\displaystyle\lim_{p\to p_0}\vec v(p)=\vec v(p_0)$。
  • 微分：$\dfrac{d\vec v}{dt}=\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\vec v(t+\Delta t)-\vec v(t)}{\Delta t}$，寫成分量就是
$$\frac{\partial\vec v}{\partial u}=\frac{\partial v_1}{\partial u}\hat i+\frac{\partial v_2}{\partial u}\hat j+\frac{\partial v_3}{\partial u}\hat k$$
位置向量與弧長（原稿 p.6 下半）

把曲線上的點寫成位置向量 $\vec r(t)=[x(t),y(t),z(t)]$，則導數 $\vec r'(t)$ 就是切向量（方向＝曲線前進方向、大小＝速率）。把速率對時間積分，就是走過的長度：

$$L=\int_a^b\sqrt{\vec r'\cdot\vec r'}\ dt=\int_a^b|\vec r'(t)|\,dt$$

為什麼是 $\sqrt{\vec r'\cdot\vec r'}$？ 因為 $\vec r'\cdot\vec r'=|\vec r'|^2$，寫成根號只是讓你自己記得「取大小」。小段長度 $ds=|\vec r'|dt$，全部加起來就是弧長。

補充示範 · 弧長怎麼用（原稿只有公式）

曲線 $\vec r(t)=[t,t,t]$，$0\le t\le2$（就是例題 16 那條走道），求弧長。

思路：先微分 $\vec r'=[1,1,1]$，再取大小 $|\vec r'|=\sqrt3$（常數，所以積分很簡單），最後 $\int_0^2\sqrt3\,dt=2\sqrt3$。

結果 $L=2\sqrt3\approx3.46$。這條線從 $(0,0,0)$ 走到 $(2,2,2)$，走直線的距離正是 $\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt3$ ✓。

原稿第 5 頁：內積與外積
原稿 p.5 — 內積（含正交條件）、外積的行列式與方向性
原稿第 6 頁：向量函數、極限、導數、弧長
原稿 p.6 — 向量函數、數列極限、連續、微分、位置向量與弧長

馬上練

1. $\vec a=[1,2,3]$、$\vec b=[2,-1,0]$ 是否垂直？

$\vec a\cdot\vec b=2-2+0=0$ ⇒ 垂直 ✓

2. 用外積求 $\vec a=[1,0,0]$、$\vec b=[0,1,0]$ 的面積。

$\vec a\times\vec b=\hat k$，$|\vec a\times\vec b|=1$ ⇒ 面積 1（單位正方形）✓

3. $\vec r(t)=[\cos t,\sin t,0]$（單位圓），$0\le t\le2\pi$，弧長？

$\vec r'=[-\sin t,\cos t,0]$，$|\vec r'|=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}=1$，所以 $L=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi$ ✓（周長 $2\pi r$）。

06梯度與方向導數原稿 p.7

前面在講「一支箭（向量）」。從這裡開始我們的函數有三個輸入 $f(x,y,z)$（叫純量場，例如房間裡每一點的温度）。這一章要問：「往哪個方向走，温度上升最快？」

English
用一句話說

把函數想成一座山的高度 $f$：梯度告訴你「往哪走最陡、坡度多少」；方向導數則是「你硬往某個方向走，坡度是多少」。山壁上等高線的垂直方向，就是梯度的方向。

核心觀念 ① · 梯度 $$\operatorname{grad}f=\nabla f=\left[\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z}\right]=\frac{\partial f}{\partial x}\hat i+\frac{\partial f}{\partial y}\hat j+\frac{\partial f}{\partial z}\hat k$$

其中 $\nabla=\dfrac{\partial}{\partial x}\hat i+\dfrac{\partial}{\partial y}\hat j+\dfrac{\partial}{\partial z}\hat k$ 叫做 del 算子（運算子），它只是一個「等著被餵函數的動作」。

  • 梯度是向量（純量場丟進去，出來一支箭）。
  • 它指向上升最快的方向，而它的長度＝那個最大上升率。
  • $\nabla f$ 沒有 $f$ 的下標會算錯：三個分量各自是「只對一個變數微分、其他當常數」。
核心觀念 ② · 方向導數

$\nabla f$ 告訴你「最快上升的方向」，但如果你只想沿著某個指定的方向 $\vec a$ 走呢？那就是方向導數：

$$D_{\vec a}f=\frac{df}{ds}=\lim_{s\to0}\frac{f(Q)-f(P)}{s}=\hat a\cdot\nabla f=\frac{\vec a}{|\vec a|}\cdot\nabla f$$

為什麼要除以 $|\vec a|$？ 因為方向導數定義成「每走 1 單位長度，$f$ 改變多少」。所以代表方向的 $\vec a$ 必須先壓成長度 1 的單位向量 $\hat a$，不然「走一步」的長度不定，變化率就沒意義。

順帶得到的結論：$D_{\vec a}f=\hat a\cdot\nabla f=|\nabla f|\cos\phi$，其中 $\phi$ 是 $\vec a$ 與 $\nabla f$ 的夾角。當 $\phi=0$（朝梯度方向走）時最大 ⇒ 再次證明「梯度是最大上升方向」。

例題 13求梯度與指定方向的方向導數
設 $f(x,y,z)=2x^2+3y^2+z^2$，在點 $P(2,1,3)$、方向 $\vec a=[1,0,-2]$，求 $\nabla f(P)$ 與 $D_{\vec a}f$。
思路
  1. 第一步一定是算梯度（不能先算方向導數）。逐項偏微：$2x^2\to4x$、$3y^2\to6y$、$z^2\to2z$。對 $x$ 微分時，$3y^2$ 和 $z^2$ 都當常數，導數 0。
  2. 把 $P(2,1,3)$ 代進去得到該點的梯度向量 $(8,6,6)$。
  3. 把方向 $\vec a$ 化成單位向量：先算 $|\vec a|=\sqrt{1^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$，所以 $\hat a=\frac{1}{\sqrt5}[1,0,-2]$。$\vec a$ 的第二個分量是 0，別抄成 1。
  4. 做內積：$\hat a\cdot\nabla f(P)=\frac{1}{\sqrt5}(1\cdot8+0\cdot6+(-2)\cdot6)=\frac{1}{\sqrt5}(8+0-12)=-\frac{4}{\sqrt5}$。
  5. 答案是負的：$-\frac{4}{\sqrt5}=-\frac{4\sqrt5}{5}\approx-1.789$，表示往 $\vec a$ 這個方向走，$f$ 的值是下降的（方向導數是「率」，單位是「$f$ 的單位／長度」）。
$$\nabla f=[4x,\ 6y,\ 2z],\qquad \nabla f(P)=(8,6,6),\qquad |\vec a|=\sqrt5$$ $$D_{\vec a}f=\frac{[1,0,-2]}{\sqrt5}\cdot[8,6,6]=\frac{1}{\sqrt5}(8+0-12)=-\frac{4}{\sqrt5}\approx-1.789$$
$\nabla f(P)=(8,6,6)$，$D_{\vec a}f=-\dfrac{4}{\sqrt5}=-\dfrac{4\sqrt5}{5}\approx-1.789$（負值＝沿 $\vec a$ 走 $f$ 在變小）
提醒（最常見的抄錯）

原稿的方向向量是 $\vec a=(1,\mathbf{0},-2)$，第二個分量是 0；很多人（包括之前的版本）會順手抄成 $(1,1,-2)$，那長度就變成 $\sqrt6$、答案也會變成 $+\frac{2}{\sqrt6}$，方向導數甚至會由負轉正。抄方向向量時一格一格對，$|\vec a|$ 也要重新算一遍。

核心觀念 ③ · 梯度是曲面的法向量（原稿的定理框）

設 $f$ 可微，$f(x,y,z)=c$ 是一個等值面 $S$（$c$ 常數）。則在 $S$ 上任一點 $P$，只要 $\nabla f\ne\vec0$，它就垂直於 $S$。

為什麼？（這個理由要會講）在曲面 $S$ 上任意取一條曲線 $\vec r(t)$，因為整條曲線都在 $f=c$ 上，所以 $f(\vec r(t))=c$ 對所有 $t$ 都成立。兩邊對 $t$ 微分，用連鎖律：

$$\frac{d}{dt}f(\vec r(t))=\nabla f\cdot\vec r'(t)=0$$

$\vec r'(t)$ 是曲線的切向量（躺在曲面上）。上式說 $\nabla f$ 與每一條曲面上的切向量都垂直 ⇒ $\nabla f$ 就是該點的法向量。所以「求曲面 $f=c$ 的單位法向量」的標準流程是：算 $\nabla f$ → 代點 → 除以長度 →（別忘了 $\pm$）。

例題 14求錐面的單位法向量
曲面 $z^2=4(x^2+y^2)$（一個圓錐面），在點 $P(1,0,2)$ 求單位法向量 $\hat n$。
思路
  1. 先用定理：把方程式整理成 $f(x,y,z)=$ 常數。移項得 $f=4(x^2+y^2)-z^2=0$。
  2. 算梯度：$\nabla f=[8x,\ 8y,\ -2z]$。（對 $x$ 微分：$4x^2\to8x$；$y$ 同理；$-z^2\to-2z$，那個負號非常容易漏。）
  3. 代 $P(1,0,2)$：$\nabla f(P)=[8,0,-4]$。
  4. 取單位向量：$|\nabla f(P)|=\sqrt{64+0+16}=\sqrt{80}=4\sqrt5$，所以 $\hat n=\pm\frac{[8,0,-4]}{4\sqrt5}=\pm\left[\frac{2}{\sqrt5},\ 0,\ -\frac{1}{\sqrt5}\right]$。
  5. 為什麼有 $\pm$？ 因為法向量有兩個方向（指進錐面／指出錐面），除非題目說「向外」或「向上」，兩個都要寫。
$$f=4(x^2+y^2)-z^2,\qquad \nabla f=[8x,8y,-2z]$$ $$\nabla f(P)=[8,0,-4],\qquad |\nabla f(P)|=4\sqrt5$$ $$\hat n=\pm\frac{[8,0,-4]}{4\sqrt5}=\pm\left[\frac{2}{\sqrt5},\,0,\,-\frac{1}{\sqrt5}\right]$$
$\hat n=\pm\left[\dfrac{2}{\sqrt5},\,0,\,-\dfrac{1}{\sqrt5}\right]$
提醒

「$z^2=4(x^2+y^2)$」也可以寫成 $z=\pm2\sqrt{x^2+y^2}$，但不要用這個形式硬微（根號很難微）；把全部搬到一邊做成 $f=c$ 再取梯度，永遠比較快。

原稿第 7 頁：梯度、方向導數、曲面法向量
原稿 p.7 — 梯度定義、方向導數 $D_{\vec a}f=\hat a\cdot\nabla f$、法向量定理與兩個例題

馬上練

1. $f=x^2y+yz^3$，求 $\nabla f$。

$\nabla f=[2xy,\ x^2+z^3,\ 3yz^2]$。注意第一分量對 $y$ 寫成 $2xy$（$x^2y$ 對 $x$ 微）、第二分量 $x^2+z^3$（對 $y$ 微）、第三個 $3yz^2$（對 $z$ 微）。

2. 承上，$f$ 在 $P(1,1,1)$ 往 $(1,0,0)$ 方向的方向導數？

$\nabla f(P)=[2,2,3]$，單位方向 $=[1,0,0]$ ⇒ $D=2$。（往 $x$ 方向走，其實就是偏導數 $f_x$，對吧？）

3. 球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 在 $P(1,1,1)$ 的法向量方向？

$f=x^2+y^2+z^2$，$\nabla f=[2x,2y,2z]$ ⇒ 在 $P$ 是 $[2,2,2]\parallel[1,1,1]$，正是從球心指向 $P$ 的方向 ✓（球面的法向量就是半徑方向）。

07散度 · 旋度 · 原稿 p.8–9

三種「$\nabla$ 與場的作用」：$\nabla\cdot$（散度，量「有沒有冒出來」）、$\nabla\times$（旋度，量「有沒有打轉」）、$\nabla^2$（Laplacian，量「跟鄰居的平均差多少」）。

English
用一句話說

在空間中某一點放一個小水龍頭，散度就告訴你「這裡是水源還是排水孔」；放一個小風車，旋度就告訴你「這裡的流會不會把它轉起來」。

核心觀念 ① · 向量場 $$\vec v(x,y,z)=[\,v_1(x,y,z),\ v_2(x,y,z),\ v_3(x,y,z)\,]=v_1\hat i+v_2\hat j+v_3\hat k$$

向量場＝空間中每一點都插一支箭（例如流速、電場、磁場）。純量場是一個數、向量場是一支箭。

核心觀念 ② · 散度（divergence） $$\operatorname{div}\vec v=\nabla\cdot\vec v=\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}$$
  • 「$\nabla\cdot\vec v$」＝算子跟向量做內積，所以結果是純量（一個數）。
  • 白話：把這一點想像成一個小方塊，流出去的比流進來的多多少。$\nabla\cdot\vec v>0$＝這裡是源（水龍頭）；$<0$＝這裡是匯（排水孔）；$=0$＝不可壓縮（incompressible）。
  • 每個分量只對自己的變數微分：$v_1$ 對 $x$、$v_2$ 對 $y$、$v_3$ 對 $z$。這是最容易搞錯的地方。
核心觀念 ③ · Laplacian 與 $\nabla^2$ $$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\qquad(\text{Laplacian operator，拉普拉斯算子})$$

把梯度再取一次散度，就得到 Laplacian：

$$\operatorname{div}(\operatorname{grad}f)=\nabla\cdot(\nabla f)=\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat i+\frac{\partial}{\partial y}\hat j+\frac{\partial}{\partial z}\hat k\right)\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial x}\hat i+\frac{\partial f}{\partial y}\hat j+\frac{\partial f}{\partial z}\hat k\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}=\nabla^2f$$

原稿那句英文要背下來：the divergence of the gradient is the Laplacian（梯度的散度就是 Laplacian）。注意內積時 $\hat i\cdot\hat i=1$、$\hat i\cdot\hat j=0$，所以只剩三個自己乘自己的項——這就是為什麼只有三項。

核心觀念 ④ · 旋度（curl）

旋度是 $\nabla$ 跟向量做外積，結果是向量：

$$\operatorname{curl}\vec v=\nabla\times\vec v=\begin{vmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\[6pt] v_1&v_2&v_3\end{vmatrix} =\left(\frac{\partial v_3}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial z}\right)\hat i-\left(\frac{\partial v_1}{\partial z}-\frac{\partial v_3}{\partial x}\right)\hat j+\left(\frac{\partial v_2}{\partial x}-\frac{\partial v_1}{\partial y}\right)\hat k$$

怎麼記？ 原稿把三個 2×2 小行列式圈起來，就是「展開時每個 $\hat i,\hat j,\hat k$ 對應一個 2×2 行列式」。實用記法：輪轉——每個分量都是「下一個變數對上一個變數」的差（$y\to z\to x\to y$），中間那項前面加負號。旋度描述場在該點附近是否在打轉（把一個小風車放進去會不會轉）。

例題 15用行列式算旋度
設向量場 $\vec v=yz\,\hat i+3zx\,\hat j+z\,\hat k$，求 $\operatorname{curl}\vec v$。
思路
  1. 先認出三個分量：$v_1=yz$、$v_2=3zx$、$v_3=z$。（$3zx$ 就是 $3xz$，順序不影響。）
  2. 排行列式：第一列 $\hat i\hat j\hat k$、第二列是三個偏導算子、第三列是 $v_1v_2v_3$。
  3. 展開第 $\hat i$ 個分量：$\dfrac{\partial v_3}{\partial y}-\dfrac{\partial v_2}{\partial z}$。$v_3=z$ 對 $y$ 微分＝0；$v_2=3zx$ 對 $z$ 微分＝$3x$。所以是 $0-3x=-3x$。
  4. 展開第 $\hat j$ 個分量：前面一定有一個減號。行列式展開是 $-\left(\dfrac{\partial v_3}{\partial x}-\dfrac{\partial v_1}{\partial z}\right)$（就是把 $j$ 那一行／列拿掉後，剩下的 2×2 行列式）。所以 $-(0-y)=+y$。
    如果你想背另一種寫法（比較常見的教科書版）也可以：$\operatorname{curl}_y\vec v=\dfrac{\partial v_1}{\partial z}-\dfrac{\partial v_3}{\partial x}=y-0=y$——兩種寫法答案一樣，因為 $-(a-b)=b-a$。
  5. 展開第 $\hat k$ 個分量：$\dfrac{\partial v_2}{\partial x}-\dfrac{\partial v_1}{\partial y}=3z-z=2z$。這項沒有負號。
  6. 最後檢查：算出來的旋度要同時垂直「場的變化方向」——這裡不方便目視檢查，但可以確認每一項都用了正確的偏導數。
$$\operatorname{curl}\vec v=\begin{vmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\[6pt] yz&3zx&z\end{vmatrix} =\big(0-3x\big)\hat i-\big(0-y\big)\hat j+\big(3z-z\big)\hat k$$ $$=-3x\,\hat i+y\,\hat j+2z\,\hat k=[-3x,\ y,\ 2z]$$
$\operatorname{curl}\vec v=[-3x,\ y,\ 2z]$
提醒

旋度只有三個分量，但有兩個地方要小心：$\hat j$ 那項的減號、以及每個分量「誰對誰微分」的順序。最保險的做法：考試時先把三個分量的公式寫在紙邊——$(\partial_yv_3-\partial_zv_2,\ \ \partial_zv_1-\partial_xv_3,\ \ \partial_xv_2-\partial_yv_1)$——再一格一格填，填錯的機會就大幅下降。

定理 · 梯度場沒有旋度（原稿 p.9 黃字） $$\operatorname{curl}(\operatorname{grad}f)=\nabla\times(\nabla f)=\vec 0$$

一句話：「如果一個連續可微的向量場是某個純量函數的梯度，那它的旋度必為 0」。

證明思路（一行就好）：把行列式寫開，每個分量都是 $f$ 的混合偏導數相減，例如第一分量 $\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{\partial f}{\partial z}-\dfrac{\partial}{\partial z}\dfrac{\partial f}{\partial y}=f_{zy}-f_{yz}=0$（$f$ 夠光滑時混合偏導數相等，與順序無關）。三個分量都成對抵消 ⇒ 零向量。

這條定理的用途：快速判斷「這個場可不可能是保守場」，第 8 章算線積分時會用到。

原稿第 8 頁：散度、Laplacian、旋度
原稿 p.8 — 散度、$\nabla^2$（Laplacian）、$\operatorname{div}(\nabla f)=\nabla^2f$、旋度的行列式形式
原稿第 9 頁：旋度例題與 curl(grad f)=0
原稿 p.9 — 旋度例題與 $\operatorname{curl}(\operatorname{grad}f)=\vec0$ 定理

馬上練

1. $\vec v=[x^2,\ xy,\ xz]$，求 $\nabla\cdot\vec v$。

$2x+x+x=4x$。（$v_1$ 對 $x$、$v_2$ 對 $y$、$v_3$ 對 $z$，各自只微一次。）

2. $f=x^2y+z^3$，求 $\nabla^2f$。

$f_{xx}=2y$、$f_{yy}=0$、$f_{zz}=6z$ ⇒ $\nabla^2f=2y+6z$。

3. 判斷：$\vec v=[y,z,x]$ 的旋度是？它會是某個 $f$ 的梯度嗎？

$\nabla\times\vec v=(-1,-1,-1)\ne\vec0$（這題在 p.15 用過），所以不是梯度場、不可能寫成 $\nabla f$。

08線積分 原稿 p.10 – p.11 上半

以前積分是「沿著 $x$ 軸一小段一小段加起來」。現在把它推廣成沿著一條彎曲的路徑一小段一小段加起來。原稿一開始那三行黃字，就是這一章的作戰手冊。

English
用一句話說

沿著一條路走，把每一步的「力 · 位移」加起來，就是總共做的功。如果這個力場是某個位能的梯度（保守場），那做功只看起點與終點的高度差，中途怎麼繞都一樣。

核心觀念 ① · 從 ∫f(x)dx 推廣過來（原稿 p.10 左上三點）

原稿寫：

  1. 若 $\vec F=\nabla f$（也就是場是某個函數的梯度）⇒ 呼作保守場，積分只跟頭尾有關。
  2. 若 $C$ 是一封閉曲線（起點＝終點）⇒ 寫成 $\oint_C$，並且「$\vec F$ 是保守場 $\iff\oint_C\vec F\cdot d\vec r=0$」。
  3. 若 $\vec F$ 是向量場，繞一圈的環流 $\oint\vec F\cdot d\vec r$ 就代表沿這條路「做了多少功」（物理裡的 work）。
核心觀念 ② · 怎麼算：參數化

路徑 $C$ 用 $\vec r(t)$ 表示，$a\le t\le b$。走一小段的位移是 $d\vec r=\vec r'(t)\,dt$，所以

$$\int_C\vec F\cdot d\vec r=\int_a^b \vec F\big(\vec r(t)\big)\cdot \vec r'(t)\,dt=\int_a^b\big(F_1x'(t)+F_2y'(t)+F_3z'(t)\big)dt$$

固定流程（背這四步就好）：

  1. 把曲線參數化：寫出 $x(t),y(t),z(t)$ 與範圍。
  2. 把 $\vec F$ 裡的 $x,y,z$ 全部換成 $t$ ⇒ 得到 $\vec F(\vec r(t))$。
  3. 微分出 $\vec r'(t)$，做內積。
  4. 對 $t$ 做一般定積分。
核心觀念 ③ · 路徑無關（path independence）

原稿的定理：在 $C$ 上的積分若只在乎起點與終點，則不管走哪條路，值都相同。而這件事成立的條件就是 $\vec F=\nabla f$（保守場）；此時

$$\int_C\vec F\cdot d\vec r=\int_C\nabla f\cdot d\vec r=f(\text{終點})-f(\text{起點})$$

$f$ 叫做位勢函數（potential function）——它就是物理裡的位能。怎麼從 $\vec F$ 找回 $f$？ 把三個分量分別對 $x,y,z$ 積分，再把三次的結果拼起來（共用項只算一次）。

例題 16保守場：兩種算法互相驗證
設 $\vec F=[2x,2y,4z]$、$f=x^2+y^2+2z^2$，取 $A(1,1,1)$、$B(0,0,0)$，路徑 $C:\vec r(t)=[t,t,t]$，$0\le t\le2$。求 $\displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r$。
思路
  1. 先確認「$\vec F$ 是不是某個 $f$ 的梯度」：題目已經給了 $f$，驗算 $\nabla f=[2x,2y,4z]=\vec F$ ✓。所以這是保守場，積分只跟頭尾有關。
  2. 路 A（照定義硬算）：把 $x=t,y=t,z=t$ 代進 $\vec F$ 得 $\vec F(\vec r(t))=[2t,2t,4t]$；再算 $\vec r'(t)=[1,1,1]$。
  3. 內積：$2t\cdot1+2t\cdot1+4t\cdot1=8t$（這一步最好寫出來，才不會漏項）。
  4. 積分：$\int_0^2 8t\,dt=4t^2\Big|_0^2=16$。
  5. 路 B（用位勢函數，10 秒鐘）：$\vec r(t)=[t,t,t]$ 在 $t=0$ 時是 $(0,0,0)$、$t=2$ 時是 $(2,2,2)$。所以 $$\int_C\vec F\cdot d\vec r=f(2,2,2)-f(0,0,0)=(4+4+8)-0=16\ \checkmark$$
$$\vec F(\vec r(t))=[2t,2t,4t],\qquad \vec r'(t)=[1,1,1],\qquad \vec F\cdot\vec r'=8t$$ $$\int_C\vec F\cdot d\vec r=\int_0^2 8t\,dt=4t^2\Big|_0^2=16$$ $$\text{檢查：}\ f(2,2,2)-f(0,0,0)=16\ \checkmark$$
$\displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r=16$（兩條路都得到 16，因為 $\vec F$ 保守）
提醒（原稿這裡有陷阱）

原稿寫「$f(A)-f(B)=16$」，但 $A(1,1,1)$ 代入 $f$ 只有 $1+1+2=4$，跟 16 對不起來。原因：$A、B$ 只是圖上標的兩個點，真正走的路徑是從 $(0,0,0)$ 到 $(2,2,2)$，所以位勢差要用路徑的兩個端點去算。這正好是這題要你體會的：算保守場的線積分，看的是「你從哪走到哪」，不是圖上隨手標的點。

例題 17非保守場：只能老實參數化
設 $\vec F=[-y,\,-xy]$，路徑 $C$ 取單位圓的第一象限圓弧：$x(t)=\cos t$、$y(t)=\sin t$，$0\le t\le\frac{\pi}{2}$。求 $\displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r$。
思路
  1. 這條路徑不是封閉曲線（從 $(1,0)$ 走到 $(0,1)$），所以不能直接說「等於 0」。先檢查是不是保守場：$\operatorname{curl}\vec F=\partial_x(-xy)-\partial_y(-y)=-y-(-1)=1-y\ne0$ ⇒ 非保守，沒有位勢函數可用。
  2. 所以只好照四步走：先寫出 $\vec F(\vec r(t))$。分量一 $-y\to-\sin t$；分量二 $-xy\to-\cos t\sin t$。所以 $\vec F(\vec r(t))=[-\sin t,\ -\cos t\sin t]$。
  3. 再算 $d\vec r$：$x'(t)=-\sin t$、$y'(t)=\cos t$。
  4. 內積：$(-\sin t)(-\sin t)+(-\cos t\sin t)(\cos t)=\sin^2t-\cos^2t\sin t$。
  5. 積分拆兩塊：$\int_0^{\pi/2}\!\sin^2t\,dt=\dfrac{\pi}{4}$（半角公式），$\int_0^{\pi/2}\!\cos^2t\sin t\,dt=\left[-\dfrac{\cos^3t}{3}\right]_0^{\pi/2}=0+\dfrac13=\dfrac13$。
  6. 相減：$\dfrac{\pi}{4}-\dfrac13\approx0.7854-0.3333=0.4521$。
$$\vec F(\vec r(t))=[-\sin t,-\cos t\sin t],\qquad \vec r'(t)=[-\sin t,\ \cos t]$$ $$\int_C\vec F\cdot d\vec r=\int_0^{\pi/2}\big(\sin^2t-\cos^2t\sin t\big)dt=\frac{\pi}{4}-\frac13\approx0.4521$$
$\dfrac{\pi}{4}-\dfrac13\approx0.4521$（正數，表示沿路徑「順著場」走）
提醒

兩個積分技巧一定要熟：① $\int\sin^2$ 或 $\int\cos^2$ 用半角公式（$\sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2}$）；② $\int\cos^2t\sin t\,dt$ 用代換 $u=\cos t$。看到「一個是另一個的導數」就代換，這是微積分裡最可靠的直覺。

原稿接著寫了兩條「積分是線性的」性質，很直觀但常考：

$$\int_C(\vec F+\vec G)\cdot d\vec r=\int_C\vec F\cdot d\vec r+\int_C\vec G\cdot d\vec r,\qquad \int_{C_1+C_2}\vec F\cdot d\vec r=\int_{C_1}\vec F\cdot d\vec r+\int_{C_2}\vec F\cdot d\vec r$$

白話：把一條長路徑拆成幾段，總功等於各段功相加；兩個場疊加，功也相加。

原稿第 10 頁：線積分
原稿 p.10 — 線積分定義、路徑積分 $\int\vec F\cdot d\vec r$、兩個例題開頭
原稿第 11 頁：線積分續與格林定理
原稿 p.11 — 上半是圓弧例題的收尾與線積分性質，下半是格林定理

馬上練

1. $\vec F=[y,x]$ 是否保守？若是，求位勢函數 $f$。

$\operatorname{curl}\vec F=\partial_x(x)-\partial_y(y)=1-1=0$ ⇒ 保守。由 $f_x=y$ 得 $f=xy+g(y)$；再由 $f_y=x+g'(y)=x$ ⇒ $g'=0$，所以 $f=xy+C$。（這題的積分只跟端點有關：$\int_{(0,0)}^{(2,3)}\vec F\cdot d\vec r=xy\big|^{3}_{2}=6$。）

2. 承上，沿著單位圓一整圈 $\oint\vec F\cdot d\vec r=?$

$0$。因為是保守場、路徑封閉 ⇒ 起點＝終點 ⇒ 位勢差不為 0 才奇怪。

09格林定理（）原稿 p.11 下半

平面版的「繞一圈」＝「把裡面切碎加起來」。它的價值是：把一條很難參數化的邊界線積分，換成一片很好算的面積分。

English
用一句話說

繞著一片區域的邊界走一圈量到的東西，等於把區域裡面每一小塊的「小旋轉」全部加起來——就像繞操場走一圈感受到的風，正好是操場上所有小旋風的總和。

核心觀念

設 $C$ 是平面上封閉的簡單曲線（逆時針為正向），$R$ 是它圍出的區域，$\vec F=[F_1,F_2]$。則

$$\oint_C\big(F_1\,dx+F_2\,dy\big)=\iint_R\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)dx\,dy$$

左邊：沿邊界走一圈的線積分（環流）。右邊：把界內每一小塊的「旋轉量」（其實就是 $(\nabla\times\vec F)_z$）加起來。

怎麼記右邊是誰減誰？ 記「後者對前者、前者對後者」容易亂，最保險是記成 $(\nabla\times\vec F)$ 的 $z$ 分量：$\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}$——和旋度第三分量 $\partial_xv_2-\partial_yv_1$ 一模一樣。

例題 18同一題算兩次：格林 vs 直接參數化
設 $F_1=y^2-7y$、$F_2=2xy+2x$，$C$ 為單位圓 $x^2+y^2=1$（逆時針）。求 $\displaystyle\oint_C(F_1\,dx+F_2\,dy)$。
思路（方法一：格林定理）
  1. 先算被積函數：$\dfrac{\partial F_2}{\partial x}=2y+2$（$F_2$ 只有第一項含 $x$，$2xy\to2y$；$2x\to2$）。
  2. $\dfrac{\partial F_1}{\partial y}=2y-7$（$y^2\to2y$，$-7y\to-7$）。
  3. 相減：$(2y+2)-(2y-7)=9$。$y$ 項全部抵消——這是出題老師的善意，剩下一個常數。
  4. 常數可以直接提出積分號：$9\iint_R dx\,dy=9\times(\text{圓面積})=9\pi$。
$$\iint_R\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)dxdy=\iint_R\big[(2y+2)-(2y-7)\big]dxdy=9\iint_R dxdy=9\pi$$
思路（方法二：直接參數化驗證）
  1. 圓的參數式：$x=\cos t$、$y=\sin t$，$t:0\to2\pi$；所以 $x'=-\sin t$、$y'=\cos t$。
  2. 把 $F_1,F_2$ 換成 $t$：$F_1=\sin^2t-7\sin t$、$F_2=2\cos t\sin t+2\cos t$。
  3. 線積分 $\oint(F_1x'+F_2y')dt$ 展開成四項：$-\sin^3t$、$+7\sin^2t$、$+2\cos^2t\sin t$、$+2\cos^2t$。
  4. 逐項積分一圈（$0\to2\pi$）：奇函數項（$\sin^3t$、$\cos^2t\sin t$）在整週期上為 0；$7\int_0^{2\pi}\sin^2t\,dt=7\pi$；$2\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=2\pi$。
  5. 合計 $0+7\pi+0+2\pi=9\pi$ ✓ 與方法一相同。
$$\oint_C(F_1x'+F_2y')dt=\int_0^{2\pi}\big[(\sin^2t-7\sin t)(-\sin t)+(2\cos t\sin t+2\cos t)(\cos t)\big]dt=7\pi+2\pi=9\pi$$
$\displaystyle\oint_C(F_1dx+F_2dy)=9\pi$（兩種算法一致）
提醒

① 原稿第一行把 $F_1$ 寫成 $y^2-9y$，但同頁後面的計算與答案是按 $-7y$ 走的（$2y+2-(2y-7)=9$ 才對得上 $9\pi$），以 $-7y$ 為準。
② 用格林定理時先看「$y$ 項會不會抵消」：會抵消就幾乎是送分題。
③ 方向一定要逆時針（正向）；若題目給順時針，答案要變號。

原稿第 11 頁下半：格林定理例題
原稿 p.11 下半 — 格林定理的兩種算法（$9\pi$）

馬上練

1. 用格林定理算 $\oint_C(x\,dy)$，$C$ 為單位圓。

$F_1=0$、$F_2=x$ ⇒ 積分 $=\iint_R(1-0)dA=\pi$（＝圓面積）。順便得到一個有用的結論：$\oint x\,dy$ 就是面積。

2. $\vec F=[-y,x]$，$C$ 為半徑 $2$ 的圓，求環流。

$\partial_x F_2-\partial_y F_1=1-(-1)=2$ ⇒ 環流 $=2\times$ 面積 $=2\times4\pi=8\pi$。（這種場是「純旋轉場」，繞一圈永遠不為 0。）

10座標系與表面積分原稿 p.12–13

圓、球、圓柱用直角座標寫會有一堆根號。這一章教你換座標：換完之後，曲面變成一個「方形區域」，積分立刻變簡單。

English
用一句話說

同一道積分，換一副「量尺」就可能從難算變成好算：球用球座標、管子用柱座標。唯一要小心的是量尺換了，面積／體積元素也要跟著換（多出 $\rho$ 或 $r^2\sin\theta$）。

核心觀念 ① · 三種座標
座標系座標變數用途（什麼形狀最好用）體積元素
直角／卡氏$(x,y,z)$方盒、平面$dx\,dy\,dz$
圓柱（柱）座標$(\rho,\varphi,z)$圓柱、圓盤、管子$\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz$
球座標$(r,\theta,\varphi)$球、球殼、圓錐$r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$

換座標的公式（原稿右邊那組矩陣）：

$$\begin{bmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&\cos\varphi&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_\rho\\a_\varphi\\a_z\end{bmatrix} \ \Longleftrightarrow\ \begin{cases}a_x=a_\rho\cos\varphi-a_\varphi\sin\varphi\\ a_y=a_\rho\sin\varphi+a_\varphi\cos\varphi\\ a_z=a_z\end{cases}$$

那是一個旋轉矩陣：把「徑向、切向」的分量轉回「$x$ 向、$y$ 向」。為什麼體積元素會多出 $\rho$（球座標多出 $r^2\sin\theta$）？ 因為越往外圍，同樣的角度張開的實際距離越長——那個多出來的就是「比例因子」。

核心觀念 ② · 曲面用參數式表示

曲面可以只用兩個參數 $u,v$ 描述（因為曲面是二維的）：

$$\vec F(u,v)=x(u,v)\hat i+y(u,v)\hat j+z(u,v)\hat k$$
  • 圓（半徑 $a$）：$\vec F(u)=[a\cos u,\ a\sin u]$
  • 球面（半徑 $a$）：$\vec F(u,v)=a\cos v\cos u\ \hat i+a\cos v\sin u\ \hat j+a\sin v\ \hat k$，其中 $0\le u\le2\pi$、$-\frac\pi2\le v\le\frac\pi2$。

看這個式子怎麼讀：$u$ 是「繞一圈的方位角」、$v$ 是「上下爬的高度角」（所以 $v$ 只走半圈 $\pm90^\circ$ 就從南極到北極）。把 $v=\frac\pi2$ 代入 ⇒ $\vec F=(0,0,a)$ 正好是北極 ✓；把 $v=0$ 代入 ⇒ $x^2+y^2=a^2$ 正好是赤道 ✓。用這兩個特例檢查自己的參數式，是很好的習慣。

原稿 p.13 左上 · 這個 $r$ 是哪裡來的

原稿把球面上位置向量的長度算了一遍：

$$|\vec F|=\sqrt{r^2\cos^2\theta\cos^2\varphi+r^2\cos^2\theta\sin^2\varphi+r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2\cos^2\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)+r^2\sin^2\theta}=r$$

關鍵只有一步：$\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1$（把 $\varphi$ 收掉），接著 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$（把 $\theta$ 也收掉），最後只剩 $r$。這個 $r$ 就是比例因子：球面上角度走一小步，實際走的距離是 $r\times$角度。所以球座標的體積元素才會帶 $r^2$。

表面積分（）

核心觀念 ③

曲面 $S$ 上的積分，需要一個「面積元素」$dA$。如果曲面是 $z=g(x,y)$，把曲面投影到 $xy$ 平面，可以證明

$$dA=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\ dx\,dy$$

那個根號就是「曲面傾斜造成的放大率」：平面（$g_x=g_y=0$）時根號 $=1$，$dA=dxdy$ ✓。原稿用球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 為例，先把它改寫成 $z^2+x^2+y^2=a^2$（球面方程式，比較好看），就是這個用途。

例題 19把「Laplacian 的面積分」變成「法向導數的線積分」
設 $f$ 有二階連續偏導，$C$ 是區域 $R$ 的邊界。證明 $$\iint_R\nabla^2f\,dA=\oint_C\frac{\partial f}{\partial n}\,ds$$ 其中 $\dfrac{\partial f}{\partial n}$ 是 $f$ 沿邊界外法線方向的導數。
思路（這題的價值是「教你怎麼選 $F_1,F_2$」）
  1. 目標：用格林定理（第 9 章）把面積分換成線積分。格林定理右邊的被積函數必須長成 $\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}$。
  2. 我們希望它變成 $\nabla^2f=f_{xx}+f_{yy}$。那就反推：讓 $\dfrac{\partial F_2}{\partial x}=f_{xx}\Rightarrow F_2=f_x$；讓 $-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}=f_{yy}\Rightarrow F_1=-f_y$。
  3. 代進格林定理： $$\iint_R\nabla^2f\,dA=\oint_C\big(F_1\,dx+F_2\,dy\big)=\oint_C\big(-f_y\,dx+f_x\,dy\big)$$
  4. 把 $dx,dy$ 寫成「沿弧長參數 $s$」的形式：$dx=\dfrac{dx}{ds}ds$、$dy=\dfrac{dy}{ds}ds$，於是 $$\oint_C\left(-f_y\frac{dx}{ds}+f_x\frac{dy}{ds}\right)ds$$
  5. 注意 $(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds})$ 是單位切向量，把它的尾巴轉 $90^\circ$ 就得到外法向量 $\hat n=(\frac{dy}{ds},-\frac{dx}{ds})$。所以括號裡那串正是 $$f_x\hat n_x+f_y\hat n_y=\nabla f\cdot\hat n=\frac{\partial f}{\partial n}$$
  6. 收工：$\displaystyle\iint_R\nabla^2f\,dA=\oint_C\frac{\partial f}{\partial n}\,ds$。
$$F_1=-f_y,\quad F_2=f_x\ \Longrightarrow\ \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=f_{xx}+f_{yy}=\nabla^2f$$ $$\oint_C(-f_y\,dx+f_x\,dy)=\oint_C\Big(-f_y\frac{dx}{ds}+f_x\frac{dy}{ds}\Big)ds=\oint_C\nabla f\cdot\hat n\,ds=\oint_C\frac{\partial f}{\partial n}\,ds$$
$\displaystyle\iint_R\nabla^2f\,dA=\oint_C\frac{\partial f}{\partial n}\,ds$ ✓
提醒

原稿在 $F_1,F_2$ 的正負號上好幾處跳來跳去（這頁在課堂上是邊推邊改）。你自己做這類題目的口訣：「要 $f_{xx}$ 就把 $f_x$ 放在 $F_2$；要 $f_{yy}$ 就把 $f_y$ 放進 $F_1$ 再取負號」。這樣永遠不會記錯。
這個公式的物理名字是格林第一／第二恆等式的平面版，看起來很抽象，但它是熱傳導（$\nabla^2T=0$ 的邊界條件）的基礎。

原稿第 12 頁：座標系
原稿 p.12 — 柱座標／球座標轉換、圓與球面的參數式、偏導數
原稿第 13 頁：比例因子、表面積分
原稿 p.13 — $|\vec F|=r$ 的推導、表面積分定義、$\iint\nabla^2f=\oint\partial f/\partial n$ 的推導

11高斯散度定理（）原稿 p.14

格林定理是「平面版」；高斯散度定理是它的「立體版」：一個體積裡所有小方塊的「冒出量」加起來，等於從整個表面流出來的總量。

English
用一句話說

想知道氣球裡有多少空氣在往外跑？不用鑽進去，只要在表面量「往外流的總量」就好——這就是散度定理：內部的冒出量＝表面看到的通量。

核心觀念 $$\iiint_T(\nabla\cdot\vec F)\,dV=\iint_S\vec F\cdot\hat n\,dA$$
  • $T$：空間中的一塊體積；$S$：包住它的封閉曲面（要「密閉」，才叫 Gauss）。
  • $\hat n=[\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma]$ 是朝外的單位法向量（$\alpha,\beta,\gamma$ 是它跟三軸的夾角）。
  • 右邊 $\iint\vec F\cdot\hat n\,dA$ 叫 通量（flux）：單位時間穿過表面的流量。
  • 原稿把它寫成座標形式：$\iint_S\big(F_1\,dy\,dz+F_2\,dz\,dx+F_3\,dx\,dy\big)$——因為 $\hat n\,dA$ 的三個分量就是三個投影面的面積元素。
例題 20圓柱上的散度定理（原稿寫到一半）
設 $\vec F=[x^3,\ x^2y,\ x^2z]$，$T$ 是半徑 $a$、高 $h$ 的圓柱。用散度定理求通量 $\displaystyle\iint_S\vec F\cdot\hat n\,dA$。
思路
  1. 「算曲面通量」這種題目，只要曲面封閉，第一步先算散度——通常比直接積三個面（頂、底、側面）快十倍。
  2. 算散度：$x^3\to3x^2$；$x^2y$ 對 $y$ 微分 → $x^2$；$x^2z$ 對 $z$ 微分 → $x^2$。合計 $\nabla\cdot\vec F=5x^2$。
  3. 看到 $x^2$ 而且形狀是圓柱 ⇒ 換圓柱座標：$x=\rho\cos\varphi$，所以 $5x^2=5\rho^2\cos^2\varphi$。
  4. 體積元素 $dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz$，積分範圍：$\rho:0\to a$、$\varphi:0\to2\pi$、$z:0\to h$。
  5. 三個變數可以分開積（因為沒有任何一項同時含兩個變數）： $$\iiint 5\rho^2\cos^2\varphi\cdot\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz=5\Big(\int_0^h\!dz\Big)\Big(\int_0^{2\pi}\!\cos^2\varphi\,d\varphi\Big)\Big(\int_0^a\!\rho^3\,d\rho\Big)$$
  6. 三個積分分別是 $h$、$\pi$（半角公式）、$\frac{a^4}{4}$。相乘得 $\dfrac{5\pi a^4h}{4}$。
$$\nabla\cdot\vec F=3x^2+x^2+x^2=5x^2$$ $$\iint_S\vec F\cdot\hat n\,dA=\iiint_T5x^2\,dV=5\int_0^h\!dz\int_0^{2\pi}\!\cos^2\varphi\,d\varphi\int_0^a\!\rho^3\,d\rho=\frac{5\pi a^4h}{4}$$
通量 $=\dfrac{5\pi a^4h}{4}$（原稿只寫到「$=5x^2$，換成圓柱座標」就下課了，這是幫你補完的完整版）
提醒

① 散度只有三個項，而且每個分量只對「自己的」變數微——這裡 $x^2y$ 是對 $y$ 微不是對 $x$ 微。
② 換座標時不要忘記 $dV$ 的比例因子 $\rho$（球座標是 $r^2\sin\theta$）。忘掉它是最常見的錯。
③ 若題目問的是「不封閉」的曲面通量，就不能用散度定理，得老實算面積分（或自己補一個蓋子湊成封閉）。

原稿第 14 頁：高斯散度定理
原稿 p.14 — 散度定理、通量的座標形式、圓柱例題（未完成）

12斯托克斯定理（）原稿 p.15

又一個「把難的換成簡單的」：曲面上的旋度通量 ＝ 沿著曲面邊界走一圈的環流。它跟格林定理的關係是：格林就是斯托克斯在平面上的特例。

English
用一句話說

想知道一片帆布上有多少小旋轉？不必整片檢查，只要沿著帆布的邊緣走一圈就知道了。這就是斯托克斯定理。

核心觀念 $$\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dA=\oint_C\vec F\cdot\vec r'(s)\,ds=\oint_C\vec F\cdot d\vec r$$
  • 左邊：把曲面 $S$ 上每一點的「旋轉量」加起來（旋度通量）。
  • 右邊：只沿著 $S$ 的邊界曲線 $C$ 走一圈（環流）。
  • 格林定理其實就是「$S$ 躺在平面上、$\hat n=\hat k$」的斯托克斯定理（因為此時 $(\nabla\times\vec F)\cdot\hat k=\partial_xF_2-\partial_yF_1$）。
例題 21同一題算兩次，兩邊都是 $-\pi$
設曲面 $S$ 是 $z=f(x,y)=1-(x^2+y^2)$ 且 $z\ge0$ 的部分（一個碗形蓋子），$\vec F=[y,\ z,\ x]$。驗證斯托克斯定理： $$\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dA=\oint_C\vec F\cdot d\vec r$$
思路（左邊：參數化邊界算線積分）
  1. 先找邊界 $C$：$z=0$ 時 $0=1-(x^2+y^2)$ ⇒ $x^2+y^2=1$，所以 $C$ 是$xy$ 平面上的單位圓。
  2. 參數化：$x=\cos s$、$y=\sin s$、$z=0$，$s:0\to2\pi$。切向量 $\vec r'(s)=[-\sin s,\ \cos s,\ 0]$。
  3. 把參數式代進 $\vec F=[y,z,x]$：得 $\vec F(\vec r(s))=[\sin s,\ 0,\ \cos s]$。（$z=0$ 所以第二分量是 0。）
  4. 內積：$\sin s\cdot(-\sin s)+0\cdot\cos s+\cos s\cdot0=-\sin^2s$。
  5. 積一圈：$\int_0^{2\pi}-\sin^2s\,ds=-\pi$（因為 $\int_0^{2\pi}\sin^2=\pi$，前面有負號）。
$$\oint_C\vec F\cdot d\vec r=\int_0^{2\pi}\big[\sin s\cdot(-\sin s)+0+0\big]ds=-\int_0^{2\pi}\sin^2s\,ds=-\pi$$
思路（右邊：用旋度＋曲面法向量算面積分）
  1. 算旋度：$\vec F=[y,z,x]$ ⇒ $\nabla\times\vec F=(-1,-1,-1)$（三個分量都是「自己對下一個變數的導數 0」減「上一個的導數 1」，例如第一分量 $\partial_yx-\partial_zz=0-1=-1$）。
  2. 曲面的法向量用第 6 章的技巧：把曲面寫成 $\phi=z-f(x,y)=z-1+x^2+y^2=0$，則 $\nabla\phi=[2x,\ 2y,\ 1]$ 就是（未歸一化的）法向量。
  3. 於是 $(\nabla\times\vec F)\cdot\nabla\phi=(-1)(2x)+(-1)(2y)+(-1)(1)=-2x-2y-1$。（這裡不必把 $\nabla\phi$ 單位化，因為面積元素已經跟著換算成 $dxdy$——原稿寫的 $\hat n\,dA=\nabla\phi\,dxdy$ 就是這件事。）
  4. 剩下一個乾淨的雙重積分：$\iint_R(-2x-2y-1)dxdy$，$R$ 是單位圓盤。
  5. 關鍵一步（要會講）：$\iint_R2x\,dA=0$、$\iint_R2y\,dA=0$，因為圓盤對原點對稱，正負互相抵消（奇函數對稱區域積分為 0）。所以只剩 $-\iint_R1\,dA=-(\text{圓盤面積})=-\pi$。
$$\nabla\times\vec F=(-1,-1,-1),\qquad\nabla\phi=[2x,2y,1]$$ $$\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dA=\iint_R(-2x-2y-1)dxdy=-\iint_R dxdy=-\pi$$
兩邊都是 $-\pi$ ✓ 斯托克斯定理成立
提醒

① 看到「$\iint 2x\,dA$」要立刻想到對稱性，不要真的去積分——這是省時間的關鍵。
② 方向要一致：邊界 $C$ 的走向必須與 $\hat n$ 符合右手定則（這裡 $\hat n$ 大致朝上、$C$ 逆時針 ✓）。方向反了，兩邊會同時變號（答案變 $+\pi$）。
③ 如果曲面很複雜、但邊界很簡單（例如這題的碗 vs 單位圓），用斯托克斯把曲面的積分換成邊界的線積分永遠是首選。

原稿第 15 頁：斯托克斯定理
原稿 p.15 — 斯托克斯定理公式與例題的左右兩邊計算（$-\pi$）
三大定理速記（第 9–12 章的總整理）
定理公式一句話
格林$\oint_C(F_1dx+F_2dy)=\iint_R(\partial_xF_2-\partial_yF_1)dA$平面：繞邊界 ＝ 界內旋轉量總和
高斯（散度）$\iiint_T\nabla\!\cdot\!\vec F\,dV=\iint_S\vec F\!\cdot\!\hat n\,dA$立體：內部冒出量 ＝ 表面總通量
斯托克斯$\iint_S(\nabla\!\times\!\vec F)\!\cdot\!\hat n\,dA=\oint_C\vec F\!\cdot\!d\vec r$曲面：旋度通量 ＝ 邊界環流

三者都是「微分的東西在裡面加起來 = 原來的東西在邊界上看」。格林是斯托克斯的平面特例；高斯處理「體積 vs 封閉面」，斯托克斯處理「曲面 vs 邊界線」。

13矩陣與線性方程組原稿 p.16–19

「Ch.9 矩陣、行列式」開始進入線性代數。整個動機只有一句：把一大串方程式（例如電路的三條 KVL）塞進一個方括號裡，然後用機械化的步驟解掉它。

English
用一句話說

矩陣就是「把一疊方程式排整齊變表格」。列運算＝用加減消去法打掃這張表格，打掃成階梯狀之後，答案可以直接由上往下讀出來。

核心觀念 ① · 矩陣是什麼

A matrix is a rectangular array of numbers or functions, enclosed in brackets.
矩陣＝把數字（或函數）排成長方形，外面加個方括號。

$$A=\begin{bmatrix}0&1&-5\\0&-2&16\end{bmatrix}\quad\text{這是一個 }2\times3\text{ 矩陣（2 列 3 行）}$$
  • 元素記號 $a_{jk}$：$j$ 是第幾列（row）、$k$ 是第幾行（column）。原稿寫 $A=[a_{jk}]$ 就是這個意思。
  • 只有一列的叫 row vector（列向量），只有一行的叫 column vector（行向量）。
  • 矩陣相等：大小一樣、而且每一個位置的元素都一樣，才叫相等。
核心觀念 ② · 為什麼要寫成 $A\vec x=\vec B$

看這個聯立方程組：

$$\begin{cases}4x_1+6x_2+9x_3=6\\ 6x_1-2x_3=20\\ 5x_1-8x_2+x_3=10\end{cases}$$

把係數、未知數、常數分開，就可以寫成矩陣：

$$A=\begin{bmatrix}4&6&9\\6&0&-2\\5&-8&1\end{bmatrix},\qquad \vec x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix},\qquad \vec B=\begin{bmatrix}6\\20\\10\end{bmatrix},\qquad A\vec x=\vec B$$
  • 第二列那個「$6x_1-2x_3=20$」沒有 $x_2$ 項，係數補 0——這是初學者最常忘記的地方（$A$ 的第二列是 $[6,0,-2]$）。
  • 矩陣形式的好處：三個未知數、三個方程式，用列運算（見下面例題 25）就有系統的解法，不必再用加減消去法猜來猜去。

矩陣的運算

運算條件做法
相加 $A+B$兩者 size 必須相同同位置的元素相加
乘純量 $cA$無條件每個元素都乘 $c$
相乘 $AB$$A$ 的行數 ＝ $B$ 的列數「$A$ 的第 $j$ 列」乘「$B$ 的第 $k$ 行」（對應相乘再相加）
轉置 $A^T$無條件把矩陣翻過來（列變行、行變列）
尺寸怎麼看（原稿寫的 $[m\ n][n\ p]=[m\ p]$）

$A$ 是 $m\times n$、$B$ 是 $n\times p$，乘起來就會是 $m\times p$。中間那兩個 $n$ 一定要一樣才能相乘，而且乘完就會消失。反過來寫 $BA$ 的話，要 $p=m$ 才有定義——所以「$AB$ 可以乘」不代表「$BA$ 可以乘」，這在原稿特別註明。還有：$AB\ne BA$（乘法不交換），即使兩個都能乘、大小也相同，結果通常不一樣。

例題 22把聯立方程式寫成矩陣（原稿右上的 $A\vec x=\vec B$）
把上面的方程組寫成 $A\vec x=\vec B$，並回答這是幾個未知數、幾個方程式。
思路
  1. 先數：未知數 $x_1,x_2,x_3$ 共 3 個；方程式 3 條（未知數個數 ＝ 方程式條數 ⇒ 有機會是「唯一解」）。
  2. 逐列填係數：第 1 列讀第 1 條方程式（$4,6,9$）；第 2 列讀第 2 條（$6,0,-2$，缺的補 0）；第 3 列讀第 3 條（$5,-8,1$）。
  3. 等號右邊的數字放進 $\vec B$，未知數放進 $\vec x$。
$$\begin{bmatrix}4&6&9\\6&0&-2\\5&-8&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\20\\10\end{bmatrix}$$
$A$ 是 $3\times3$、$\vec x$ 是 $3\times1$、$\vec B$ 是 $3\times1$；三個未知數、三條方程式
補充 · 這題的解答（原稿沒寫）

用後面第 16、17 章的克拉瑪公式或反矩陣可以解出 $\vec x=\left[3,\ \tfrac12,\ -1\right]^T$。自己驗算：$4(3)+6(\frac12)+9(-1)=12+3-9=6$ ✓、$6(3)-2(-1)=20$ ✓、$5(3)-8(\frac12)+(-1)=15-4-1=10$ ✓。

例題 23矩陣乘法：$3\times3$ 乘 $3\times4$
設 $$A=\begin{bmatrix}3&5&-1\\4&0&2\\-6&-3&2\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}2&-2&3&1\\5&0&7&8\\9&-4&1&1\end{bmatrix}$$ 求 $AB$。
思路
  1. 先確認尺寸：$A$ 是 $3\times3$、$B$ 是 $3\times4$ ⇒ 中間的 3 對上了，結果會是 $3\times4$。先寫好答案的格子（3 列 4 行），再一格一格填，這樣才不會東漏西漏。
  2. 填 $C_{11}$（第 1 列 × 第 1 行）：$A$ 第 1 列是 $(3,5,-1)$、$B$ 第 1 行是 $(2,5,9)$ ⇒ $3(2)+5(5)+(-1)(9)=6+25-9=22$。
  3. 填 $C_{12}$：$A$ 第 1 列 × $B$ 第 2 行 $(−2,0,−4)$ ⇒ $3(-2)+5(0)+(-1)(-4)=-6+0+4=-2$。
  4. 依此類推。原稿做的就是這件事，只是用「橫的乘直的」的手勢在紙上比。
$$AB=\begin{bmatrix} 3(2)+5(5)-1(9) & 3(-2)+5(0)-1(-4) & 3(3)+5(7)-1(1) & 3(1)+5(8)-1(1)\\ 4(2)+0+2(9) & 4(-2)+0+2(-4) & 4(3)+0+2(1) & 4(1)+0+2(1)\\ -6(2)-3(5)+2(9) & -6(-2)-3(0)+2(-4) & -6(3)-3(7)+2(1) & -6(1)-3(8)+2(1) \end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}22&-2&43&42\\26&-16&14&6\\-9&4&-37&-28\end{bmatrix}$$
$AB$ 是 $3\times4$ 矩陣 $\begin{bmatrix}22&-2&43&42\\26&-16&14&6\\-9&4&-37&-28\end{bmatrix}$
提醒

① 原稿最後一行有兩個數字（43 寫成 41、−37 寫成 −17、−28 寫成 −18）是上課手算時的快寫誤差，請以上面自己乘出來的為準。做矩陣乘法時，每一格都獨立算一次，不要「沿著上一格改」，這樣才不會一路錯下去。
② 請順手驗一件事：$AB\ne BA$（$B$ 是 $3\times4$，$BA$ 根本無法乘）——這就是原稿寫「$AB\ne BA$」的原因。

例題 24轉置
設 $A=\begin{bmatrix}5&-8&1\\4&0&0\end{bmatrix}$，求 $A^T$。
思路
  1. 轉置就是「列變行、行變列」：第 $i$ 列整條搬去當第 $i$ 行。
  2. 先看形狀：$A$ 是 $2\times3$（2 列 3 行），所以 $A^T$ 一定是 $3\times2$。先寫出尺寸，就不會漏元素。
  3. 逐格對：$a_{13}=1$ 搬到 $(3,1)$、$a_{12}=-8$ 搬到 $(2,1)$、$a_{11}=5$ 留在 $(1,1)$。對角線上的元素位置不變。
$$A=\begin{bmatrix}5&-8&1\\4&0&0\end{bmatrix}_{2\times3},\qquad A^T=\begin{bmatrix}5&4\\-8&0\\1&0\end{bmatrix}_{3\times2}$$
$A^T=\begin{bmatrix}5&4\\-8&0\\1&0\end{bmatrix}$（$2\times3$ 轉置後變 $3\times2$）

轉置的四條規則（原稿右側，全部要背）：

$$(A^T)^T=A,\qquad (A+B)^T=A^T+B^T,\qquad (cA)^T=cA^T,\qquad \boxed{(AB)^T=B^TA^T}$$

最後一條最容易寫錯：順序要反過來（先 $B^T$ 再 $A^T$）！這跟反矩陣的規則 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 是同一個道理（見第 17 章）。

幾個「有名字的」矩陣（原稿右下）

名稱條件例子
對稱矩陣（symmetric）$A^T=A$$\begin{bmatrix}1&2&3\\2&0&4\\3&4&0\end{bmatrix}$
對角矩陣（diagonal）非對角線元素全為 0$\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}$
上三角／下三角對角線以下全為 0（上三角）$\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}$
純量矩陣（scalar）對角線元素全部相同$\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}=3I$
單位矩陣（unit／identity）對角線全是 1、其餘 0$I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

單位矩陣的角色：矩陣世界的「1」。$IA=A$、$AI=A$。它在第 17 章求反矩陣時是主角（就是我們要把 $A$ 變成的那個目標）。

高斯消去法：用列運算解方程組

核心觀念 ③ · 增廣矩陣（augmented matrix）

把係數矩陣 $A$ 和常數項 $\vec B$ 併在一起，中間畫一條線：

$$[\,A\mid\vec B\,]=\left[\begin{array}{cc|c}2&5&2\\-4&3&-30\end{array}\right]$$

為什麼要併在一起？因為解方程組時，我們對係數和常數做一模一樣的運算，併起來才不會漏掉常數那一欄。下面三種「列運算」不會改變解：① 兩列互換 ② 某列乘非零常數 ③ 某列加另一列的倍數。

例題 25兩個未知數：把增廣矩陣化到最簡
解 $\begin{cases}2x_1+5x_2=2\\-4x_1+3x_2=-30\end{cases}$
思路
  1. 寫增廣矩陣：第一列讀第一式、第二列讀第二式。
  2. 目標是讓左下角變成 0（變成上三角），這樣最後一列只含一個未知數。
  3. 觀察：$2\times2=4$，而第二列的第一個元素是 $-4$。所以做 $\text{R}_2+2\text{R}_1$ 正好把 $-4$ 消掉。
  4. 新的第二列是 $[0,\ 3+10\mid-30+4]=[0,13\mid-26]$。
  5. 回推：$13x_2=-26\Rightarrow x_2=-2$；代回第一式 $2x_1+5(-2)=2\Rightarrow 2x_1=12\Rightarrow x_1=6$。
$$\left[\begin{array}{cc|c}2&5&2\\-4&3&-30\end{array}\right] \xrightarrow{\text{R}_2+2\text{R}_1}\left[\begin{array}{cc|c}2&5&2\\0&13&-26\end{array}\right]$$ $$13x_2=-26\ \Rightarrow\ x_2=-2;\qquad 2x_1+5(-2)=2\ \Rightarrow\ x_1=6$$
$x_1=6,\ x_2=-2$（檢查：$2(6)+5(-2)=2$ ✓，$-4(6)+3(-2)=-30$ ✓）
例題 26電路的三條方程式（原稿 p.18 下半）
原稿用一個雙迴路電路（80V／90V 電壓源、10Ω、15Ω、20Ω、25Ω 電阻）示範：把迴路電流 $i_1,i_2,i_3$（課堂上改叫 $x_1,x_2,x_3$）寫成方程組並求解。整理後的方程組是 $$\begin{cases}x_1-x_2+x_3=0\\ 20x_1+10x_2=80\\ 10x_2+25x_3=90\end{cases}$$
思路
  1. 為什麼會有三條方程式？ 兩個獨立迴路（左、右）各寫一條 KVL（沿迴路走一圈，電壓升＝電壓降），再加上一條「$i_1-i_2+i_3=0$」這種把電流互相關聯起來的關係式（節點／迴路關係）。
  2. 全部寫成增廣矩陣。原稿把第一條（0 常數列）也寫進去，所以是 4 列：$x_1-x_2+x_3=0$ 有兩條（互為負號，是多餘的），列運算後會自然變成 0 列。
  3. 列運算：$\text{R}_2+2\text{R}_1$ 消掉第一行；$\text{R}_3-20\text{R}_1$ 消掉第一行；接著把第 2、3 列搭配消去第二行。
  4. 化到最簡後出現 $[0,0,-95\mid-190]$ ⇒ $-95x_3=-190\Rightarrow x_3=2$。
  5. 往上回代：$10x_2+25(2)=90\Rightarrow10x_2=40\Rightarrow x_2=4$；再由 $x_1-x_2+x_3=0\Rightarrow x_1=4-2=2$。
$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\-1&1&-1&0\\20&10&0&80\\0&10&25&90\end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\0&30&-20&80\\0&10&25&90\\0&0&0&0\end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\0&0&-95&-190\\0&10&25&90\\0&0&0&0\end{array}\right]$$ $$x_3=2,\qquad 10x_2+25(2)=90\Rightarrow x_2=4,\qquad x_1-4+2=0\Rightarrow x_1=2$$
$x_1=2,\ x_2=4,\ x_3=2$（三個都代回原式檢查：$20(2)+10(4)=80$ ✓、$10(4)+25(2)=90$ ✓、$2-4+2=0$ ✓）
提醒（原稿筆誤）

原稿把第二條寫成「$20x_1+10x_3=80$」，但矩陣的列是 $[20,10,0\mid80]$，代表 $20x_1+10x_2=80$，而且只有這樣代入 $(2,4,2)$ 才會等於 80。這是抄式子時看錯行的典型失誤——寫完方程組一定要回代檢查，一秒就能發現。

例題 27 · 28「無限多組解」與「無解」長什麼樣
(a) 消去後出現一整列 0 ⇒ 無限多組解。(b) 消去後出現 $0=$ 非零 ⇒ 無解。各看一個例子。
(a) 無限多組解的例子（原稿左側，含小數係數）
  1. 原稿的系統（4 個未知數、3 條方程式）：
    $$3x_1+2x_2+2x_3-5x_4=8$$ $$0.6x_1+1.5x_2+1.5x_3-5.4x_4=2.7$$ $$1.2x_1-0.3x_2-0.3x_3+2.4x_4=2.1$$
  2. 列運算：$\text{R}_2-0.2\text{R}_1$（為什麼是 0.2？因為 $0.6/3=0.2$）、$\text{R}_3-0.4\text{R}_1$。
  3. 得到第二列 $[0,\ 1.1,\ 1.1,\ -4.4\mid1.1]$、第三列 $[0,\ -1.1,\ -1.1,\ 4.4\mid-1.1]$。
  4. 把第三列加到第二列 ⇒ 整列變成 0（$1.1-1.1=0$、$-4.4+4.4=0$、$1.1-1.1=0$）。
  5. 「$0=0$」是一句廢話 ⇒ 這條方程式沒有提供新資訊。4 個未知數只有 2 個獨立條件 ⇒ 有無限多組解（可以自由選 2 個變數當參數）。
$$\left[\begin{array}{cccc|c}3&2&2&-5&8\\0.6&1.5&1.5&-5.4&2.7\\1.2&-0.3&-0.3&2.4&2.1\end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc|c}3&2&2&-5&8\\0&1.1&1.1&-4.4&1.1\\0&0&0&0&0\end{array}\right]\ \Rightarrow\ \textbf{無限多組解}$$
(b) 無解的例子
  1. 系統： $$3x_1+2x_2+x_3=3,\qquad 2x_1+x_2+x_3=0,\qquad 6x_1+2x_2+4x_3=6$$
  2. 先互換，把係數最漂亮的第三式拉上來當第一列（$6$ 當主元，後面除起來比較好看）。
  3. 列運算：$\text{R}_2-\frac13\text{R}_1=[0,\frac13,-\frac13\mid-2]$、$\text{R}_3-\frac12\text{R}_1=[0,1,-1\mid0]$。注意第二、三列的係數部分成比例（$(1,-1)$ 是 $(\frac13,-\frac13)$ 的 3 倍），所以再消一次，左邊一定會變成整列 0。
  4. 做 $3\text{R}_2-\text{R}_3=[0,0,0\mid-6]$ ⇒ 也就是「$0=-6$」。這是矛盾的算式，代表沒有任何 $(x_1,x_2,x_3)$ 能同時滿足三條 ⇒ 無解（inconsistent）。順帶檢查：$\det A=0$（所以不會是唯一解），而係數矩陣的秩 $\ne$ 增廣矩陣的秩，屬於「無解」那一類。
$$\left[\begin{array}{ccc|c}3&2&1&3\\2&1&1&0\\6&2&4&6\end{array}\right] \xrightarrow{\ \text{互換}\ }\left[\begin{array}{ccc|c}6&2&4&6\\2&1&1&0\\3&2&1&3\end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}6&2&4&6\\0&\frac13&-\frac13&-2\\0&1&-1&0\end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}6&2&4&6\\0&\frac13&-\frac13&-2\\0&0&0&-6\end{array}\right]\ \Rightarrow\ 0=-6\ \textbf{無解}$$
判別準則（原稿 p.19 左下那張圖與右邊三行）

設有 $n$ 個未知數、$m$ 條方程式，化簡後有 $p$ 個非零列（＝係數矩陣的秩，第 14 章會正式定義）：

  • 若 $p（inconsistent）。
  • 若 $p=m=n$（正方形且滿秩）⇒ 恰有一組解（唯一解），此時 $\det A\ne0$。
  • 若 $p（把多出來的未知數當自由參數）。
原稿第 16 頁：矩陣與線性系統
原稿 p.16 — 矩陣、$A\vec x=\vec B$、加減乘、運算律
原稿第 17 頁：矩陣乘法、轉置
原稿 p.17 — 矩陣乘法例題、$AB\ne BA$、轉置規則、特殊矩陣
原稿第 18 頁：高斯消去、電路例題
原稿 p.18 — 增廣矩陣、$2\times2$ 例題、電路的三條方程式與求解
原稿第 19 頁：無限多解與無解
原稿 p.19 — 無限多組解、無解的例子與判別準則

馬上練

1. $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$、$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$，求 $AB$ 與 $BA$。

$AB=\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}$、$BA=\begin{bmatrix}3&4\\1&2\end{bmatrix}$。兩者不同 ⇒ 再用一個例子確認「矩陣乘法不能交換」。

2. 用列運算解 $\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$

增廣矩陣：$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right]$。做 $\text{R}_2-2\text{R}_1$、$\text{R}_3-\text{R}_1$ 得 $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right]$，再 $\text{R}_3+\frac13\text{R}_2$ 得 $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&0&-\frac73&-7\end{array}\right]$ ⇒ $z=3$、$-3y-3=-9\Rightarrow y=2$、$x+2+3=6\Rightarrow x=1$。
回代三式：$1+2+3=6$ ✓、$2(1)-2+3=3$ ✓、$1+2(2)-3=2$ ✓ 三條都對。所以 $x=1,\ y=2,\ z=3$。

14線性獨立與秩 原稿 p.20

「秩」是在問：這個矩陣裡，有幾列（或幾行）是真正「獨立」的資訊？重複的、可以組合出來的都不算。

English
用一句話說

秩＝「這個矩陣裡有幾條真正獨立的資訊」。其他列都只是別人的組合，刪掉也不會少任何訊息——所以 $3\times3$ 的矩陣，秩可能只有 2。

核心觀念 ① · 線性獨立／線性相關

考慮一組向量 $\vec a_1,\vec a_2,\dots,\vec a_n$，把它們配係數相加：

$$c_1\vec a_1+c_2\vec a_2+\cdots+c_n\vec a_n=\vec 0$$
  • 若只有 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$ 才能讓它成立 ⇒ 這組向量線性獨立（linearly independent）。
  • 若有不全為零的係數也能讓它成立 ⇒ 線性相關（linearly dependent），也就是「其中至少有一個向量是多餘的，可以別人的組合做出來」。

白話：獨立＝每支箭都提供了新方向；相關＝有一支箭只是別人的合成，拿掉也不損失資訊。

核心觀念 ② · Rank（秩）

定義：矩陣的 Rank ＝ 它裡面「線性獨立的列向量」的最大個數，記作 $\operatorname{Rank}A$。因為可以證明「獨立列的個數」跟「獨立行的個數」永遠相等，所以：

$$\operatorname{Rank}A=\operatorname{Rank}A^T\qquad(\text{原稿右下角的 } \operatorname{Rank}A^T=\operatorname{Rank}A)$$
  • 若 $A=0$（全零矩陣）則 $\operatorname{Rank}A=0$；否則 $\operatorname{Rank}A\ge1$。
  • $\operatorname{Rank}A\le\min(m,n)$（$m\times n$ 矩陣最多就只能有 $\min(m,n)$ 個獨立方向）。
  • 實用算法：做列運算化成「階梯型」，數一數留下幾個非零列就是秩（列運算不會改變秩）。
例題 29求矩陣的秩
求 $A=\begin{bmatrix}3&0&2\\-6&42&24\\21&-21&0\end{bmatrix}$ 的秩（原稿同時把右邊的常數行一起列運算）。
思路
  1. 目標：用列運算把第一行（除第一列外）全部消成 0，這樣就能一眼看出哪些列是多餘的。
  2. $\text{R}_2+2\text{R}_1$（因為 $-6+2\times3=0$）：得 $[0,\ 42,\ 28\mid58]$。
  3. $\text{R}_3-7\text{R}_1$（因為 $21-7\times3=0$）：得 $[0,\ -21,\ -14\mid1]$。
  4. 觀察剩下的兩列：$[0,42,28]$ 與 $[0,-21,-14]$，後者＝前者乘 $(-\frac12)$ ⇒ 它們是同一條資訊，只有一個是獨立的。
  5. 加上第一列，共有 2 個獨立列 ⇒ $\operatorname{Rank}A=2$（雖然 $A$ 是 $3\times3$，但「有效資訊」只有 2 維）。
$$\left[\begin{array}{ccc|c}3&0&2&2\\-6&42&24&54\\21&-21&0&15\end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}3&0&2&2\\0&42&28&58\\0&-21&-14&1\end{array}\right]\ \Rightarrow\ \operatorname{Rank}A=2$$
$\operatorname{Rank}A=2$
順手多學一件事

注意係數那兩列成比例（$42:28$ vs $-21:-14$），但常數那一欄不成比例（$58$ vs $1$，比例的結果應該是 $-29$）。這代表方程組本身是矛盾的 ⇒ 無解。這就是「用秩判斷解的存在性」：$\operatorname{Rank}A<\operatorname{Rank}[A\mid\vec B]$ ⇒ 無解。

H.W.原稿右下紅框的作業
設 $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{bmatrix}$，求 $\operatorname{Rank}A$ 與 $\operatorname{Rank}A^T$。
思路
  1. 先看有沒有「一看就成比例」的列：第 2 列 $[2,4,6]$ 正好是第 1 列 $[1,2,3]$ 的 2 倍 ⇒ 第 2 列是多餘的。
  2. 第 3 列 $[0,1,1]$ 跟第 1 列不成比例（$0:1:1$ vs $1:2:3$） ⇒ 它提供新資訊。
  3. 所以獨立列有 2 個 ⇒ $\operatorname{Rank}A=2$。
  4. 因為「獨立行個數 ＝ 獨立列個數」，所以轉置後仍舊是 2：$\operatorname{Rank}A^T=2$。
    （驗證一下行：$A$ 的三行是 $(1,2,0),(2,4,1),(3,6,1)$，第三行＝第一行＋第二行？$(1+2,2+4,0+1)=(3,6,1)$ ✓ 所以獨立行也正好是 2 個。）
$\operatorname{Rank}A=2$，$\operatorname{Rank}A^T=2$
原稿第 20 頁：線性獨立與 Rank
原稿 p.20 — 線性獨立／相關、Rank 的定義與例題、$A$ 與 $A^T$ 秩相同

15行列式（）原稿 p.21

行列式是把一個方陣壓縮成一個數字。這個數字的功能：判斷方程組有沒有唯一解（$\det A\ne0$）、算面積／體積、算反矩陣與克拉瑪公式。

English
用一句話說

行列式把一個方陣壓成一個數字，這個數字回答一個問題：「這個系統被壓扁了嗎？」等於 0 就是被壓扁（沒有唯一解）；不等於 0 就還有救。

核心觀念 ① · 定義與低階公式

只有方陣（$n\times n$）才有行列式，記作 $\det A$ 或 $D$。

$$n=1:\ D=\det A=a_{11}\qquad\qquad n=2:\ D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

$2\times2$ 的口訣：「主對角相乘 減 副對角相乘」。

核心觀念 ② · 高階：餘因子展開（cofactor expansion）

先把兩個名詞分清楚：

  • Minor $M_{jk}$（子行列式）：把第 $j$ 列、第 $k$ 行整條刪掉，剩下的 $(n-1)\times(n-1)$ 行列式。
  • Cofactor $C_{jk}$（餘因子）：把 minor 加上正負號，$C_{jk}=(-1)^{j+k}M_{jk}$。

然後任選一列（或一行）展開：

$$D=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{j+k}a_{jk}M_{jk}=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}C_{jk}\qquad(\text{固定第 } j \text{ 列})$$

正負號怎麼決定？ 原稿畫的那個「棋盤」就是答案：

$$\begin{array}{ccc}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{array}\qquad\text{（左上角永遠是 } +\text{，像西洋棋盤一樣交替）}$$

選哪一列展開？ 選0 最多的那一列（或行）——因為乘 0 的項可以直接不理它。這一個小技巧能省掉一半計算。

例題 303×3 行列式：沿第一列展開
求 $D=\begin{vmatrix}1&3&0\\2&6&4\\-1&0&2\end{vmatrix}$。
思路
  1. 先掃一眼哪一列／行最多 0：第一列有 0、第一行也有 0。這裡照原稿選第一列。
  2. 展開三項，每項都是「元素 × 對應的 2×2 子行列式 × 正負號」。第一列的正負號是 $+,-,+$。
  3. 第一項：$1\times\begin{vmatrix}6&4\\0&2\end{vmatrix}$（刪掉第 1 列第 1 行後剩下 $6,4$ 與 $0,2$）$=1\times(12-0)=12$。
  4. 第二項：$-3\times\begin{vmatrix}2&4\\-1&2\end{vmatrix}$（刪掉第 1 列第 2 行）$=-3\times(4+4)=-3\times8=-24$。
  5. 第三項：$+0\times(\dots)=0$——遇到 0 就直接跳過，不要白算。
  6. 合計 $12-24+0=-12$。
$$D=1\cdot\begin{vmatrix}6&4\\0&2\end{vmatrix}-3\cdot\begin{vmatrix}2&4\\-1&2\end{vmatrix}+0\cdot\begin{vmatrix}2&6\\-1&0\end{vmatrix}=1(12-0)-3(4+4)+0=12-24=-12$$
$D=-12$（$\ne0$ ⇒ 這個矩陣是 nonsingular，方程組有唯一解）
提醒

① 第二項的減號是「棋盤」給的，不是因為 $-3$ 而來的，抄式子時很容易漏。② 展開時可以用另一列或另一行試試看，答案一定一樣（這是最好的自我檢查）。③ $2\times2$ 的行列式算的是平行四邊形面積、$3\times3$ 算的是平行六面體體積——行列式為 0 就代表「壓扁了」（向量線性相關），這就是為什麼 $\det A=0$ 時方程組沒有唯一解。

定理 · 解的數量（原稿左上那段）
  • 方程組若有兩個以上的解（也就是有解、且不只一組）⇒ 必然有無限多組解（不可能「剛好兩組」）。
  • 若 $\det A\ne0$ ⇒ 恰有一組解（唯一解）；這也是克拉瑪公式與反矩陣的前提。
  • 若 $\det A=0$ ⇒ 沒有唯一解：可能無解、也可能無限多組解（要靠列運算才能確定是哪一種）。
原稿第 21 頁：行列式
原稿 p.21 — 行列式定義、minor／cofactor、符號棋盤、3×3 例題（$=-12$）

16克拉瑪公式（）原稿 p.22 上半

只要 $\det A\ne0$，方程組的解可以用「兩個行列式相除」直接寫出來——不必做列運算。

English
用一句話說

只需要其中一個未知數時的超快解法：把對應那一行換成常數，算兩個行列式相除。分母都是同一個 $\det A$，只有分子在換行。

核心觀念 · 2×2 版（先看懂這一個） $$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases}\qquad A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix},\ \det A\ne0$$ $$x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{\det A}=\frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{\det A},\qquad x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{\det A}=\frac{a_{11}b_2-b_1a_{21}}{\det A}$$

規律（一定要抓到）：分母永遠是 $\det A$；求 $x_1$ 時，把 $A$ 的第 1 行換成常數向量 $\vec b$；求 $x_2$ 時換第 2 行。「求哪個未知數，就換那一行」。

核心觀念 · 3×3（原稿中間的定理框） $$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\end{cases}\qquad x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}&a_{13}\\b_2&a_{22}&a_{23}\\b_3&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}{\det A},\qquad x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1&a_{13}\\a_{21}&b_2&a_{23}\\a_{31}&b_3&a_{33}\end{vmatrix}}{\det A},\ \dots$$

看出規律了嗎？把第 1 行換成 $\vec b$ 就是 $x_1$、換第 2 行就是 $x_2$、換第 3 行就是 $x_3$。原稿在分子第一個行列式上圈了紅圈，就是提醒你「換掉的那一行在哪裡」。

例題 31用克拉瑪公式解 2×2 方程組
解 $\begin{cases}2x_1+5x_2=2\\-4x_1+3x_2=-30\end{cases}$（就是例題 25 那題，這次用克拉瑪）。
思路
  1. 先寫 $A$、$\vec b$，並算 $\det A=2(3)-5(-4)=6+20=26$。$\det A\ne0$ ⇒ 可以放心用克拉瑪。
  2. 求 $x_1$：把 $A$ 的第一行換成 $\vec b=(2,-30)$ ⇒ $\begin{vmatrix}2&5\\-30&3\end{vmatrix}=6+150=156$，再除以 26 ⇒ $x_1=6$。
  3. 求 $x_2$：把第二行換成 $\vec b$ ⇒ $\begin{vmatrix}2&2\\-4&-30\end{vmatrix}=-60+8=-52$，除以 26 ⇒ $x_2=-2$。
  4. 和例題 25 的列運算結果完全一致 ✓（兩種方法都可以，考試時看哪個快）。
$$\det A=\begin{vmatrix}2&5\\-4&3\end{vmatrix}=26,\qquad x_1=\frac{\begin{vmatrix}2&5\\-30&3\end{vmatrix}}{26}=\frac{156}{26}=6,\qquad x_2=\frac{\begin{vmatrix}2&2\\-4&-30\end{vmatrix}}{26}=\frac{-52}{26}=-2$$
$x_1=6,\ x_2=-2$
提醒

克拉瑪公式的限制：① 必須是「方程式條數 ＝ 未知數個數」（方陣）；② 必須 $\det A\ne0$。
它的優點：只要一個未知數時超快（不用整組解完）。缺點：$n$ 大時計算量爆炸（每個未知數都要算一個 $n$ 階行列式），實務上會改用列運算或反矩陣。

原稿第 22 頁：克拉瑪公式與反矩陣定義
原稿 p.22 — 克拉瑪公式（2×2 與 3×3）、解的數量定理、反矩陣的定義與性質

17反矩陣（）原稿 p.22 下半 – p.23

矩陣世界的「倒數」。有了它，方程組 $A\vec x=\vec B$ 就能像國中一樣「兩邊同除以 $A$」：$\vec x=A^{-1}\vec B$。

English
用一句話說

反矩陣就是矩陣界的「倒數」。$A\vec x=\vec B$ 兩邊同乘 $A^{-1}$ 得到 $\vec x=A^{-1}\vec B$——跟國中解 $3x=6$ 時「兩邊同除以 3」是完全一樣的動作。

核心觀念 ① · 定義 $$A\,A^{-1}=A^{-1}A=I$$
  • 若這個 $A^{-1}$ 存在，它是唯一的（unique）。
  • 若不存在 ⇒ 稱 $A$ 為 singular matrix（奇異矩陣）；存在則叫 nonsingular。判準很簡單：$\det A=0$ ⇔ singular（沒有反矩陣）。
  • 只有方陣才可能談反矩陣。
  • 乘積的反矩陣要反序：若 $A,B$ 都可逆，則 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$（原稿右下那段）。口訣：脫鞋子先脫襪子——跟 $(AB)^T=B^TA^T$ 一樣要換順序。
核心觀念 ② · 怎麼求：Gauss–Jordan 消去法

在 $A$ 的右邊接上單位矩陣，形成 $[A\mid I]$，然後做列運算，把左半邊變成 $I$：

$$[\,A\mid I\,]\ \xrightarrow{\ \text{列運算}\ }\ [\,I\mid A^{-1}\,]$$

為什麼這樣就對？ 因為「把 $A$ 變成 $I$ 的那一串列運算」整體效果就等於「左乘 $A^{-1}$」；把同一串運算也套在 $I$ 上，$I$ 就變成 $A^{-1}$。關鍵：右半邊的 $I$ 是拿來「記錄」你做了哪些運算的。

例題 32用 $[A\mid I]$ 求 $3\times3$ 反矩陣
設 $A=\begin{bmatrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\end{bmatrix}$，求 $A^{-1}$。
思路
  1. 先把 $[A\mid I]$ 寫出來：左半是 $A$，右半是 $I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$。
  2. 第一步把左半第一行（除了左上角）清成 0：$\text{R}_2+3\text{R}_1$、$\text{R}_3-\text{R}_1$。得到左半 $\begin{bmatrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&2&2\end{bmatrix}$。
    （檢查：$[3,-1,1]+3[-1,1,2]=[0,2,7]$ ✓）
  3. 繼續用同樣的手法把左半化簡成單位矩陣——每一步都同時對右半做一樣的事。
  4. 左半變成 $I$ 時，右半就是答案。原稿算出：
$$[A\mid I]=\left[\begin{array}{ccc|ccc}-1&1&2&1&0&0\\3&-1&1&0&1&0\\-1&3&4&0&0&1\end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}-1&1&2&1&0&0\\0&2&7&3&1&0\\0&2&2&-1&0&1\end{array}\right]\longrightarrow\cdots\longrightarrow[\,I\mid A^{-1}\,]$$ $$A^{-1}=\begin{bmatrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\end{bmatrix}$$
$A^{-1}=\begin{bmatrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\end{bmatrix}$（$\det A=10$）
提醒 · 必做的最後一步：驗算

把答案拿去乘 $A$，看是不是 $I$。例如第一列乘第一行：$(-0.7)(-1)+(0.2)(3)+(0.3)(-1)=0.7+0.6-0.3=1$ ✓；第一列乘第二行：$(-0.7)(1)+(0.2)(-1)+(0.3)(3)=-0.7-0.2+0.9=0$ ✓。只要一個位置的「1」或「0」不對，就是中途算錯了——這個檢查只要一分鐘，卻能救回一整題的分數。
另外：原稿過程中有幾處中間數字是自己重算時的暫存值（紅筆畫掉重寫），自己動手時不要試著「抄」中間那幾步，照著「一次清一行的 0」的節奏做就不會亂。

反矩陣還能做什麼
  • 解方程組：$A\vec x=\vec B\Rightarrow\vec x=A^{-1}\vec B$（例題 22 那組解 $\vec x=[3,\frac12,-1]^T$ 就可以這樣得到）。
  • 公式（$2\times2$ 超好用）：$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$。記法：主對角交換、副對角變號、除以行列式。
  • 用 $2\times2$ 公式檢查上面：若 $A$ 是 $2\times2$ 且 $\det A=0$，公式會除以 0 ⇒ 正好對應「singular 沒有反矩陣」。
原稿第 23 頁：反矩陣計算
原稿 p.23 — $[A\mid I]$ 的 Gauss–Jordan 過程與 $A^{-1}$ 的答案

馬上練

1. 求 $\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}^{-1}$。

$\det=2(3)-1(5)=1$，所以 $A^{-1}=\frac11\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}$。驗算：$\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ ✓

2. $\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$ 有反矩陣嗎？

$\det=4-4=0$ ⇒ singular，沒有反矩陣。（第二列是第一列的 2 倍，資訊重複 ⇒ 無法還原。）

EN術語中英對照互動查詢

讀原文書、看國外課程影片時會撞到的英文字都在這一頁。上面的章節標題和各章的 English 列也都是按鈕，點一下就會跳出中文意思與一句話解釋。這裡則可以直接打字搜尋（中英都通）。

共 106 個術語 · 依章節排列

複數與四則運算

English中文一句話解釋
complex number複數形如 $z=x+iy$ 的數；$x$ 是實部、$y$ 是虛部。
real part實部$\operatorname{Re}(z)=x$，注意它不含 $i$。
imaginary part虛部$\operatorname{Im}(z)=y$，是一個實數，別寫成 $3i$。
pure imaginary純虛數實部為 0，例如 $4i$。
conjugate共軛複數把虛部的正負號反過來：$\bar z=x-iy$，幾何上是對實軸鏡射。
commutative law交換律$z_1+z_2=z_2+z_1$，加法的順序不影響結果。
associative law結合律$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$，括號可以搬。
distributive law分配律$z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$，展開時用。

極式與歐拉公式

English中文一句話解釋
polar form極式$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，用長度與角度描述同一個點。
modulus模（絕對值）$|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}$，就是箭頭的長度。
argument輻角$\operatorname{Arg}z$ ＝所有合格的角度，彼此差 $2n\pi$。
principal value主值只取 $-\pi<\theta\le\pi$ 的那一個，寫成 $\arg z$。
Euler's formula歐拉公式$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，把指數與三角函數接起來。
quadrant象限看 $x$、$y$ 的正負決定角度落在第幾象限。

極式的乘除 · 棣美弗 · 方根

English中文一句話解釋
De Moivre's theorem棣美弗定理$z^n=r^n[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]$：次方＝角度乘 $n$。
nth root$n$ 次方根開 $n$ 次方有 $n$ 個解，全落在半徑 $\sqrt[n]{R}$ 的圓上。
roots of unity單位根$\sqrt[n]{1}$ 的 $n$ 個解，把單位圓等分成 $n$ 份。
equally spaced等角分布相鄰兩個解的角度差固定是 $2\pi/n$。

複變函數

English中文一句話解釋
complex variable複變數輸入的變數 $z$ 本身就是複數。
complex function複變函數$w=f(z)$：一個 $z$ 對到一個 $w$。
real / imaginary parts實部與虛部函數$w=u+iv$，$u$、$v$ 各是 $x$、$y$ 的實函數。
domain / range定義域／值域定義域是允許的 $z$，值域是跑出來的 $w$。

向量的運算

English中文一句話解釋
vector向量有大小有方向的量，記成 $[a_1,a_2,a_3]$。
magnitude / norm大小（模）$|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$。
unit vector單位向量$\hat a=\vec a/|\vec a|$，長度 1、方向與 $\vec a$ 相同。
dot product內積$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$，算出來是一個數。
orthogonal正交（垂直）$\vec a\cdot\vec b=0$ 就是互相垂直。
cross product外積$\vec a\times\vec b$ 用 $3\times3$ 行列式算，結果垂直於兩者。
right-hand rule右手定則食指指 $\vec a$、中指指 $\vec b$，拇指方向就是 $\vec a\times\vec b$。
parallelogram平行四邊形$|\vec a\times\vec b|$ 等於兩向量張出的平行四邊形面積。
position vector位置向量$\vec r(t)=[x(t),y(t),z(t)]$，把曲線寫成向量。
tangent vector切向量$\vec r'(t)$，指向曲線前進的方向。
arc length弧長$L=\int_a^b|\vec r'(t)|\,dt$，把速率對時間積分。

梯度與方向導數

English中文一句話解釋
scalar field純量場每一點對應一個數，例如房間裡的溫度 $f(x,y,z)$。
vector field向量場每一點對應一支箭，例如水流速度。
gradient梯度$\nabla f=[f_x,f_y,f_z]$，指向最陡上升方向。
del operator$\nabla$ 算子$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\hat i+\frac{\partial}{\partial y}\hat j+\frac{\partial}{\partial z}\hat k$，等著被餵函數。
directional derivative方向導數$D_{\vec a}f=\hat a\cdot\nabla f$，往指定方向的變化率。
normal vector法向量垂直於曲面的向量；$\nabla f$ 就是它。
level surface等值面$f(x,y,z)=c$ 的曲面，$\nabla f$ 與它垂直。
chain rule連鎖律$\frac{d}{dt}f(\vec r(t))=\nabla f\cdot\vec r'$，是法向量定理的關鍵。

散度 · 旋度 · Laplacian

English中文一句話解釋
divergence散度$\nabla\cdot\vec v$：每點「往外冒」多少，結果是純量。
curl旋度$\nabla\times\vec v$：每點「打轉」多少，結果是向量。
Laplacian拉普拉斯算子$\nabla^2=\operatorname{div}(\operatorname{grad})$，二階偏導數的和。
incompressible不可壓縮$\nabla\cdot\vec v=0$，代表既沒有源也沒有匯。
source / sink源／匯散度為正是源（水龍頭），為負是匯（排水孔）。

線積分

English中文一句話解釋
line integral線積分沿曲線把 $\vec F\cdot d\vec r$ 一小段一小段加起來。
parametrization參數化把路徑寫成 $\vec r(t)$，並決定 $t$ 的範圍。
conservative field保守場可以寫成某個 $\nabla f$ 的向量場。
potential function位勢函數那個 $f$；線積分只要算頭尾位勢差。
path independence路徑無關走哪條路都一樣，只看起點與終點。
circulation環流沿封閉曲線繞一圈的線積分 $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$。
work功物理上線積分就是力沿路徑所做的功。

格林定理

English中文一句話解釋
Green's theorem格林定理$\oint_C(F_1dx+F_2dy)=\iint_R\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)dA$。
simple closed curve簡單封閉曲線不自我交叉、頭尾相接的曲線。
counterclockwise逆時針（正向）格林定理要求的邊界方向；反向要變號。
double integral雙重積分對平面區域做兩次積分。
boundary邊界區域 $R$ 的邊界曲線 $C$。

座標系與表面積分

English中文一句話解釋
cylindrical coordinates柱（圓柱）座標$(\rho,\varphi,z)$，體積元素 $dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz$。
spherical coordinates球座標$(r,\theta,\varphi)$，體積元素 $dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$。
surface integral表面積分在曲面上積分，需要面積元素 $dA$。
area element面積元素曲面上的一小塊面積，例如 $\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dxdy$。
volume element體積元素換座標後出現的比例因子乘積。
scaling factor比例因子球座標多了 $r^2\sin\theta$、柱座標多了 $\rho$ 的那個因子。
normal derivative法向導數$\frac{\partial f}{\partial n}=\nabla f\cdot\hat n$，沿外法線方向的變化率。

高斯散度定理

English中文一句話解釋
divergence theorem散度定理$\iint_S\vec F\cdot\hat n\,dA=\iiint_T\nabla\cdot\vec F\,dV$，也叫高斯定理。
flux通量穿過表面的總流量。
closed surface封閉曲面像球面、圓柱面這種密閉的曲面。
triple integral三重積分對體積做三次積分。
outward normal外法向量朝曲面外面的單位法向量 $\hat n$。

斯托克斯定理

English中文一句話解釋
Stokes' theorem斯托克斯定理$\oint_C\vec F\cdot d\vec r=\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dA$。
curl flux旋度通量曲面上的旋度通量，就是右邊那個面積分。
orientation方向（定向）曲面法向量與邊界繞向要符合右手定則。
boundary curve邊界曲線曲面 $S$ 的邊界 $C$。

矩陣與線性方程組

English中文一句話解釋
matrix矩陣把數字排成長方形再加括號。
entry / element元素$a_{jk}$：第 $j$ 列第 $k$ 行的數字。
row / column列／行列是橫的（row）、行是直的（column）。
coefficient matrix係數矩陣$A$，把所有未知數的係數排起來。
augmented matrix增廣矩陣$[A\mid B]$，把常數項也併進同一張表。
transpose轉置$A^{T}$：列變行、行變列。
symmetric matrix對稱矩陣$A^{T}=A$，沿對角線對折會重合。
diagonal matrix對角矩陣非對角線元素全是 0。
identity matrix單位矩陣$I$：對角線是 1、其餘是 0，矩陣界的 1。
row operation列運算互換、乘非零常數、加另一列的倍數，都不改變解。
Gaussian elimination高斯消去法用列運算把方程組化到階梯型再回代。
inconsistent不一致（無解）消去後出現 $0=$ 非零的矛盾列。
scalar multiplication純量乘法$cA$：每個元素都乘 $c$。

線性獨立與秩

English中文一句話解釋
linear independence線性獨立只有係數全為 0 才能組出零向量。
linear dependence線性相關有不全為 0 的係數也能組出零向量。
rank秩線性獨立列（或行）的最大個數。
row echelon form列階梯形左上往右下排成階梯狀，方便數秩。
pivot樞元（主元）階梯型中每一列的第一個非零元素。

行列式

English中文一句話解釋
determinant行列式把方陣壓縮成的一個數，記作 $\det A$。
minor子行列式刪掉某列某行後剩下的行列式 $M_{jk}$。
cofactor餘因子$C_{jk}=(-1)^{j+k}M_{jk}$，就是加了正負號的 minor。
cofactor expansion餘因子展開沿一列（或一行）展開來算高階行列式。
sign pattern符號棋盤$+$、$-$ 交替的記號表，左上角永遠是 $+$。
singular奇異$\det A=0$，沒有反矩陣。

克拉瑪公式

English中文一句話解釋
Cramer's rule克拉瑪公式$x_k$＝（把第 $k$ 行換成 $\vec b$ 的行列式）$\div\det A$。
unique solution唯一解$\det A\ne0$ 時恰有一組解。
numerator / denominator分子／分母分子是換過行的行列式，分母是 $\det A$。

反矩陣

English中文一句話解釋
inverse matrix反矩陣$A^{-1}$，滿足 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$。
nonsingular非奇異$\det A\ne0$，所以有反矩陣。
Gauss–Jordan elimination高斯－喬登消去法$[A\mid I]\to[I\mid A^{-1}]$ 的列運算流程。
unique唯一的反矩陣若存在，只會有一個。
verify驗算把答案乘回去，確認得到 $I$。

＋公式總表 · 考前速記附錄

這一頁是把 23 頁原稿裡「一定會用到的式子」集中起來。考前只看這一頁複習。

① 複數（第 1–3 章）

項目式子
複數與 i$i=\sqrt{-1}$，$i^2=-1$；$z=x+iy$
加／乘$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
除法（有理化）$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{z_1\bar z_2}{z_2\bar z_2}$，$z\bar z=x^2+y^2$
實部／虛部用共軛表示$\operatorname{Re}z=\dfrac{z+\bar z}{2}$，$\operatorname{Im}z=\dfrac{z-\bar z}{2i}$
模與極式$|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}$，$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$
歐拉公式$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
乘／除／次方$z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$；$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$；$z^n=r^ne^{in\theta}$
n 次方根$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left[\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right]$，$k=0,\dots,n-1$（$n$ 個解）
夾角／模的性質$\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$（向量用）；$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$

② 向量（第 5 章）

項目式子
由兩點求向量$\overrightarrow{PQ}=Q-P$；$|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
單位向量$\hat a=\dfrac{\vec a}{|\vec a|}$
內積$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec a||\vec b|\cos\theta$
正交條件$\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$
外積$\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$；$|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta$（平行四邊形面積）
弧長$L=\int_a^b|\vec r'(t)|\,dt$

③ 向量微積分（第 6–7 章）

項目式子一句話
梯度$\nabla f=\left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right]$最陡上升方向（向量）
方向導數$D_{\vec a}f=\hat a\cdot\nabla f$往指定方向的變化率（數）
梯度＝法向量$f=c$ 的曲面法向 $\parallel\nabla f$；$\hat n=\pm\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$求切平面、通量都要用
散度$\nabla\cdot\vec v=\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}$冒出量（數）
旋度$\nabla\times\vec v=\begin{vmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$打轉量（向量）
Laplacian$\nabla^2f=\operatorname{div}(\operatorname{grad}f)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}$梯度的散度
兩個必背的 0$\nabla\times(\nabla f)=\vec0$；$\nabla\cdot(\nabla\times\vec v)=0$「梯度的旋度＝0」是判斷保守場最快的工具

④ 三大積分定理（第 9、11、12 章）

定理公式換掉什麼
格林$\oint_C(F_1dx+F_2dy)=\iint_R(\partial_xF_2-\partial_yF_1)dxdy$平面邊界線積分 ↔ 平面積分
高斯（散度）$\iint_S\vec F\cdot\hat n\,dA=\iiint_T\nabla\cdot\vec F\,dV$封閉曲面通量 ↔ 體積分
斯托克斯$\oint_C\vec F\cdot d\vec r=\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dA$邊界環流 ↔ 曲面旋度通量
法向導數版（p.13）$\iint_R\nabla^2f\,dA=\oint_C\frac{\partial f}{\partial n}\,ds$Laplacian 面積分 ↔ 法向導數線積分

⑤ 座標系與體積元素（第 10–11 章）

座標轉換$dV$／$dA$
柱座標 $(\rho,\varphi,z)$$x=\rho\cos\varphi,\ y=\rho\sin\varphi,\ z=z$$dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz$
球座標 $(r,\theta,\varphi)$$x=r\sin\theta\cos\varphi,\ y=r\sin\theta\sin\varphi,\ z=r\cos\theta$$dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$
曲面 $z=g(x,y)$—$dA=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dxdy$

⑥ 線性代數（第 13–17 章）

項目式子／規則
矩陣乘法尺寸$[m\times n][n\times p]=[m\times p]$；$AB\ne BA$
轉置規則$(A^T)^T=A$，$(A+B)^T=A^T+B^T$，$(AB)^T=B^TA^T$（要換序）
行列式$n=2$：$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$；$n\ge3$：$\sum_k(-1)^{j+k}a_{jk}M_{jk}$（餘因子展開）
克拉瑪$x_k=\dfrac{\det(A\text{ 的第 }k\text{ 行換成 }\vec b)}{\det A}$，$\det A\ne0$
反矩陣定義$AA^{-1}=A^{-1}A=I$；$\det A=0\Rightarrow$ 不存在（singular）
$2\times2$ 反矩陣$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$
反矩陣求法$[A\mid I]\ \to\ [I\mid A^{-1}]$
解的存在性$\operatorname{Rank}A<\operatorname{Rank}[A\mid\vec B]\Rightarrow$ 無解；$p=n$ ⇒ 唯一解；$p

原稿全部例題速查表

原稿頁題目主題答案
p.1複數：Re／Im／加／乘$17+i$；$78+11i$
p.1複數除法（有理化）$\frac{66}{85}+\frac{43}{85}i$
p.1用共軛求虛部$\operatorname{Im}=3$
p.2$1+i$ 的極式$\sqrt2\,e^{i\pi/4}$
p.3$\sqrt[3]{1}$$1,\ -\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i$
p.3$\sqrt[5]{1}$（延伸：$\sqrt i$）$e^{i2k\pi/5}$；$\pm(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i)$
p.4$w=z^2+3z$ 在 $z=1+3i$$-5+15i$（原稿筆誤 $1+15i$）
p.4$\overrightarrow{PQ}$，$P(4,0,2),Q(6,-1,2)$$(2,-1,0)$，$\sqrt5$
p.4向量加法（分量／$\hat i\hat j\hat k$）$[6,5,\frac43]$；$[6,-5,\frac43]$
p.5內積、模、夾角$-1$；$\sqrt5,\sqrt{14}$；$96.9^\circ$
p.5外積$(0,0,-3)$
p.7方向導數（$\vec a=[1,0,-2]$）$-\frac{4}{\sqrt5}\approx-1.789$
p.7錐面單位法向量$\pm[\frac{2}{\sqrt5},0,-\frac{1}{\sqrt5}]$
p.9旋度 $\vec v=[yz,3zx,z]$$[-3x,y,2z]$
p.10保守場線積分（$\vec F=[2x,2y,4z]$）$16$
p.10–11圓弧線積分（$\vec F=[-y,-xy]$）$\frac\pi4-\frac13\approx0.4521$
p.11格林定理（單位圓）$9\pi$
p.13$\iint\nabla^2f=\oint\partial f/\partial n$推導題
p.14高斯散度定理（圓柱）$\frac{5\pi a^4h}{4}$（原稿未完成）
p.15斯托克斯定理（碗形）$-\pi$
p.16寫成 $A\vec x=\vec B$$\vec x=[3,\frac12,-1]^T$（補充）
p.17矩陣乘法 $AB$（$3\times3$ 與 $3\times4$）見例題 23
p.17轉置（$2\times3\to3\times2$）$A^T=\left[\begin{array}{cc}5&4\\-8&0\\1&0\end{array}\right]$
p.18方程組（增廣矩陣）$x_1=6,\ x_2=-2$
p.18電路三條方程式$(x_1,x_2,x_3)=(2,4,2)$
p.19無限多組解的例子消去後出現 0 列
p.19無解的例子消去後出現 $0=-6$
p.20Rank$\operatorname{Rank}A=2$；H.W. 也是 2
p.213×3 行列式$-12$
p.22克拉瑪公式$x_1=6,\ x_2=-2$
p.23反矩陣$\begin{bmatrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\end{bmatrix}$
原稿的 3 個筆誤（自己複習時要記得改過來）
  1. p.4 $f(1+3i)$ 應為 $-5+15i$（原稿寫 $1+15i$）。
  2. p.10 保守場那題的位勢差要用路徑端點 $(0,0,0)\to(2,2,2)$ 算，$f$ 差為 16；$A(1,1,1)$ 只是圖上的標記點，代進去是 4。
  3. p.18 電路第二條應為 $20x_1+10x_2=80$（原稿寫成 $10x_3$）。
3 個「看起來像筆誤、其實原稿是對的」（舊版誤判，已修正）
  • p.4 向量加法：原稿寫 $\vec a=4\hat i+\hat k$——沒寫 $\hat j$ 代表係數是 0，所以第二分量是 $0-5=-5$（不是 $-4$）。
  • p.7 方向導數：方向向量是 $\vec a=[1,0,-2]$（第二個分量是 0），$|\vec a|=\sqrt5$、答案 $-\frac{4}{\sqrt5}$。原稿寫的 $\sqrt5$ 是對的。
  • p.17 轉置：原稿的 $A$ 是 $2\times3$（$\begin{bmatrix}5&-8&1\\4&0&0\end{bmatrix}$），轉置後是 $3\times2$，所以會多出一列（$A_{13}=1$ 會跑到第 3 列第 1 行）。
考前 60 秒自我檢查清單
  • 複數除法：分母乘的是共軛嗎？
  • 開 $n$ 次方：角度用的是 $\frac{\theta+2k\pi}{n}$ 嗎？數了 $n$ 個 解嗎？
  • 方向導數：方向向量單位化了嗎？
  • 求曲面法向量：有沒有把方程式整理成 $f(x,y,z)=c$ 再取 $\nabla f$？
  • 散度：每個分量對自己的變數微分嗎？（$v_1$ 對 $x$）
  • 旋度：$\hat j$ 那一項的負號加了嗎？
  • 換座標：$dV$ 的比例因子（$\rho$ 或 $r^2\sin\theta$）補了嗎？
  • 三大定理：曲面／區域是封閉的嗎？方向（正負向）對嗎？
  • 矩陣相乘：$AB$ 還是 $BA$？尺寸對得上嗎？
  • 算完反矩陣／方程組：回代驗算了嗎？

綜合練習（答案在下面，先自己寫）

1. 求 $\dfrac{(2+i)(3-2i)}{1+i}$。

分子：$(2+i)(3-2i)=6-4i+3i-2i^2=8-i$。再除以 $1+i$：$\frac{(8-i)(1-i)}{2}=\frac{8-8i-i+i^2}{2}=\frac{7-9i}{2}=\frac72-\frac92i$。

2. 寫出 $-1+i$ 的極式與 $(-1+i)^6$。

$r=\sqrt2$、主值輻角 $\frac{3\pi}{4}$ ⇒ $z=\sqrt2e^{i3\pi/4}$。$z^6=(\sqrt2)^6e^{i(18\pi/4)}=8e^{i9\pi/2}=8e^{i\pi/2}=8i$。

3. $f=x^2yz$，在 $P(1,2,3)$ 沿 $\vec a=[1,1,1]$ 的方向導數？

$\nabla f=[2xyz,\ x^2z,\ x^2y]$ ⇒ $\nabla f(P)=[12,3,2]$；$\hat a=\frac{1}{\sqrt3}[1,1,1]$ ⇒ $D=\frac{12+3+2}{\sqrt3}=\frac{17}{\sqrt3}\approx9.81$。

4. $\vec F=[2xy,\ x^2,\ 1]$ 是否保守？若是，求位勢函數。

$\nabla\times\vec F=(0-0,\ 0-0,\ 2x-2x)=\vec0$ ⇒ 保守。$f_x=2xy\Rightarrow f=x^2y+g(y,z)$；$f_y=x^2+g_y=x^2\Rightarrow g_y=0$；$f_z=g_z=1\Rightarrow g=z+C$。所以 $f=x^2y+z+C$。

5. 用格林定理算 $\oint_C(y^3dx+x^3dy)$，$C$ 為半徑 2 的圓。

$\partial_xF_2-\partial_yF_1=3x^2-3y^2$。用極座標：$3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^2(r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta)r\,dr\,d\theta=3\int_0^{2\pi}\cos2\theta\,d\theta\int_0^2r^3dr=0$（因為 $\cos2\theta$ 走一整圈積分為 0）⇒ 答案 0。

6. $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求 $A^{-1}$ 並解 $A\vec x=[5,11]^T$。

$\det=-2$ ⇒ $A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{bmatrix}$。$\vec x=A^{-1}\vec B=\begin{bmatrix}-10+11\\7.5-5.5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$。驗算：$1+4=5$ ✓、$3+8=11$ ✓。

工程數學 · 手寫講義精讀 — 依原稿 23 頁逐頁整理，每個例題都附思路。原稿縮圖可點擊放大對照。

列印版：例題與重點（PDF · A4 兩頁） — 第 1 頁 32 題全部例題與答案、第 2 頁 17 章重點；字體為標楷體，適合印出來考前看。

使用方式：手機可直開這個資料夾的 index.html；離線也能用（數學排版與原稿圖都在本機）。右上角可切換夜間模式。

原稿放大圖